Question

एक 80m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः $60^{o}$ और $30^{o}$ है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

प्रश्न अनुसार दी गई परिस्थिति को चित्रित किया गया है|
यहां पर AB से सड़क को दर्शाया गया है ,तथा D वह बिंदु है, जिससे परस्पर दोनों खंभों के उन्नयन कोण दिए गए हैं, जो A से x मीटर दूर है तो दूसरे बिंदु B से उसकी दूरी 80-x मीटर होगी |

एक खंबा AC से दर्शाया गया है दूसरा खंबा BE से दर्शाया गया है |

AC = BE

समकोण त्रिभुज ∆ ACD में

$tan \: D = \frac{AC}{AD} \\ \\ tan \: 60° = \frac{AC}{x} \\ \\ \sqrt{3} = \frac{AC}{x} \\ \\ AC = x \sqrt{3} ...eq1$

समकोण त्रिभुज ∆ DBE में

$tan \: D = \frac{BE}{DB} \\ \\ tan \: 30° = \frac{BE}{80 - x} \\ \\ \frac{1}{ \sqrt{3}} = \frac{BE}{80 - x} \\ \\ BE = \frac{80 - x}{ \sqrt{3} } ...eq2$

क्योंकि दोनों खंभों की लंबाई एक समान है तो हम x का मान निकालने के लिए दोनों खंभों की लंबाई AC व BC को बराबर रखकर x का मान निकाल लेंगे

$x \sqrt{3} = \frac{80 - x}{ \sqrt{3} } \\ \\ 3x = 80 - x \\ \\ 4x = 80 \\ \\ x = \frac{80}{4} \\ \\ x = 20 \: m$

तो इस प्रकार वह बिंदु A से 20 मीटर दूरी पर है, तथा B से 60 मीटर दूरी पर है, अब इस x के मान को हम AC या BC किसी में भी रखकर खंभों की ऊंचाई निकाल लेंगे

$AC = 20 \times \sqrt{3} \: m$

इस प्रकार दोनों खंभों की लंबाई 20√3 मीटर है |