Question

एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac {AO} {BO} = \frac {CO} {DO}$ है। दर्शाइए कि ABCD समलंब है।

Answer 1

हमे सिद्ध करना है कि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है ।

रचना : ABCD एक चतुर्भज खींचा जिसके एक भुजा AD पर बिंदु M इस प्रकार अंकित किया कि बिंदु M, तथा बिंदु O (जहां विकर्ण परस्पर प्रतिच्छेदित करते हैं ) को मिलाने वाली रेखा MO || AB

प्रमाण : ∆ADB में, OM || AB
थेल्स या आधारभूत समानुपातिक प्रमेय से,
$\frac{AM}{MD}=\frac{DO}{OB}$....(1)

दिया गया है , $\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}$

$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{DO}\\\\\frac{OC}{AO}=\frac{DO}{OB}$...(2)

अब, समीकरण (1) और (2) से,
$\frac{OC}{AO}=\frac{AM}{MD}$
थेल्स या आधारभूत समानुपातिक प्रमेय के विलोम से,
MO || CD
इसीलिए, MO || AB || CD या , AB || CD
अतः, ABCD एक समलंब है ।