Question

एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) [tex]\dfrac{1}{3} है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

माना रेखाओं की ढाल $m_{1}$ , $m_{2}$ हों, तब

∴                $m_{1}$ = $2m_{2}$

      यदि दोनों रेखाओं के बीच θ कोंण हो, तो

                     tanθ = $\frac{1}{3}$

    हम जानते है कि

                      tanθ = $\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}}$ = $\frac{1}{3}$ जहाँ $m_{1}$ = $2m_{2}$

∴                     ± $\frac{2m_{2} - m_{2}}{1+2m_{2}^{2}}$ = $\frac{1}{3}$

या                    ± $\frac{m_{2}}{1+2m_{2}^{2}}$ =  $\frac{1}{3}$

धनात्मक चिन्ह लेने पर,

∴                      1 + $2m_{2}^{2}$ = $3m_{2}$

या                    $2m_{2}^{2}$ - $3m_{2}$ + 1 = 0

⇒                    ($m_{2}$ - 1) ($2m_{2}$ - 1) = 0

∴                      $m_{2}$ = 1 , $\frac{1}{2}$

                       $m_{1}$ = $2m_{2}$ में $m_{2}$ = 1  रखने पर

                       $m_{1}$ = 1 × 2 = 2

रेखाओं की ढाल 2 और 1 है तथा 1,  $\frac{1}{2}$ है।

-ve चिन्ह लेने पर, 1 + $2m_{2}^{2}$ = - $3m_{2}$ या $2m_{2}^{2}$ + $3m_{2}$ + 1 = 0

या       ($m_{2}$ + 1) ($2m_{2}$ + 1) = 0 अर्थात $m_{2}$ = -1 , -$\frac{1}{2}$

∴            रेखा की ढाल -2 , -1 तथा -1 , -$\frac{1}{2}$ है।

Answer 2

रेखाओं की ढाल    ± 1/2 , ±1   या ± 1 , ±2

Step-by-step explanation:

माना

रेखा की ढाल    m₁  तथा m₂

m₂  = 2m₁

रेखाओं  के बीच के कोण  = α

=> Tanα = 1/3

Tanα  = ±  (m₂ - m₁) /(1 + m₁m₂)

=>  Tanα  = ± (2m₁ - m₁)/(1 + m₁2m₁)

=> 1/3  =  ± m₁/(1 + 2m₁²)

1 + 2m₁² = 3m₁      या     1 + 2m₁² = -3m₁

=> 2m₁² - 3m₁  + 1 = 0     या    2m₁² + 3m₁  + 1 = 0

=> 2m₁² - 2m₁  -  m₁ + 1 = 0     या    2m₁² + 2m₁  + m₁ + 1 = 0

=> 2m₁(m₁ - 1)   -1 ( m₁ - 1) = 0     या   2m₁(m₁ + 1)   + 1 ( m₁ +  1) = 0 = 0

=> (2m₁ - 1)(m₁ - 1) = 0     या (2m₁ + 1)(m₁ + 1) = 0  

=> m₁ = 1/2  ,  1           या  m₁ =   - 1/2 , - 1

m₂  = 1 , 2                या     m₂  = -1 , -2  

रेखाओं की ढाल    ± 1/2 , ±1   या ± 1 , ±2

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