Question

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 12 cm है और इसका कर्ण 5 cm लम्बी है । त्रिभुज की दोनों भुजाएँ |
| तथा क्षेत्रफल ज्ञात करें । प्राप्त परिणाम का जाँच हीरो के सूत्र से करें ।​

Answer 1

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Answer 2

संकल्पना

त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई से ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग किया जाता है। यदि a, b, और c किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं, तो बगुला का सूत्र कहता है कि

क्षेत्र = $\sqrt{[s(s - a)(s - b)(s - c)]}$

जहाँ s अर्ध परिमाप है, या (a + b + c)/2 है।

दिया गया

एक समकोण त्रिभुज जिसका परिमाप 12 सेमी और कर्ण 5 सेमी . है

पाना

त्रिभुज की दोनों भुजाएँ और क्षेत्रफल

समाधान

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है,

$hypotenuse^{2} = base^{2} + height^{2}$

⇒ $5^{2} = b^{2} + h^{2}$

साथ ही परिमाप = 12 सेमी

⇒ 5 + b + h = 12

⇒ b + h = 7 ... (1)

⇒ $(b + h)^{2} = 7^{2}$

⇒ $b^{2} + h^{2} + 2bh = 49$

⇒ $5^{2} + 2bh = 49$

⇒ $2bh = 49 -25$

⇒ bh = 12

⇒ b = 12/h ... (2)

(2) को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

12/h + h = 7

⇒ 12 + $h^{2}$ = 7h

⇒ $h^{2}$- 7h + 12 = 0

मध्य पद को विभाजित करने और हमें प्राप्त होने वाले द्विघात समीकरण को हल करने पर,

$(h-3)^{2} + (h-4)^{2} = 0$

⇒ h = 3 or 4

अगर h = 3, b = 4

और अगर h = 4, b =3

इस प्रकार त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 और 4 हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} * b * h$

क्षेत्र = $\frac{1}{2} * 3 * 4$

= 6

अत: दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 सेमी . है

अब, हम बगुला के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र की जांच करते हैं

यहाँ अर्ध परिमाप = 6 सेमी

ए = 5, बी = 3, सी = 4

इस प्रकार,

क्षेत्र = $\sqrt{6(6-5)(6-3)(6-4)}$

= $\sqrt{6*1*3*2}$

= $\sqrt{36}$

= 6

इस प्रकार बगुला के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल भी 6 सेमी . निकल रहा है |

#SPJ3