Question

एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB,BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमशः D,E और F हैं। $\bigtriangleup DEF$ और $\bigtriangleup ABC$ के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

चित्र को ध्यान से देखें , यहाँ प्रश्नानुसार एक त्रिभुज ABC दिया है जिसकी भुजा AB , BC और CA के मध्य बिंदुएं क्रमशः D, E और F है ।
अब, हमे ज्ञात करना है ar(DEF)/ar(ABC)

चूँकि दिये गये त्रिभुज में, D, E तथा F त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं , इसीलिए थेल्स प्रमेय के अनुसार,
DF || BC , DE || CA और EF || AB.
साथ ही, DE = 1/2 AC, EF = 1/2 AB और FD = 1/2 BC

अब त्रिभुज BDE तथा त्रिभुज BCA में,

∠BED=∠BCA (चूँकि संगत कोण हैं)

तथा, ∠BDE=∠BAC (चूँकि संगत कोण हैं)

तथा, ∠EBD=∠CBA (उभयनिष्ठ कोण हैं)

अत: AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी के आधार पर,

△ BED $\sim$ △ BCA

अत: ar(△ BED)/ar(△ BCA)=(DE/AC)²

⇒ar(△ BED)/ar(△ BCA)= {(1/2 AC)/AC}²

⇒ar(△ BED)/ar(△ BCA)= (1/2)² = 1/4

⇒ar(△ BED)=ar(△BCA)/4

उसी तरह,

⇒ar(△CFE)=1/4ar(△CBA)

तथा ⇒ar(△ADF)=1/4ar(△ABC)

अब, ar (△DEF) = ar (△ABC) – [ar (△BED) + ar (△CFE) + ar (△ADF)]

`=> ar(∆DEF) = ar(∆ABC)-3/4 ar(triangle ABC)

⇒ar(△DEF)=1/4ar(△ABC)

⇒ar(△ DEF)/ar(△ABC)=1/4

अत: △ DEF और △ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात 1:4 है| 

Answer 2

Step-by-step explanation:

this question to one solution 4√2