Question

यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

Answer 1

दिया है -


ΔABC = ΔDEF..............(1)


माना दोनों त्रिभुज समरूप है


तो - ΔABC ~ ΔDEF


इसलिए पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल / दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल


=> ΔABC/ΔDEF = AB²/DE² = BC²/EF² = AC²/DF².........(2)



समीकरण ( 1 ) से


ΔABC \ ΔDEF = 1 .........(3)


समीकरण 2 का मान समीकरण 3 में रखने पर


AB²/DE² = BC²/EF² = AC²/DF² = 1


AB = DE, BC = EF, AC = DF


अतः (SSS) प्रमेय से


ΔABC$\cong$ΔDEF

Answer 2

हम जानते हैं कि दो समरुप त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात,संगत भुजाओं के वर्गो के अनुपात के बराबर होता है । अर्थात, यदि ABC और DEF दो त्रिभुज समरुप हैं तो
$\frac{ar(\triangle{ABC})}{ar(\triangle{DEF})}=\frac{AB^2}{DE^2}=\frac{BC^2}{EF^2}=\frac{CA^2}{FD^2}$

अब, प्रश्न से,
दो समरुप त्रिभुज के क्षेत्रफल बराबर हैं ।
अर्थात, ar (∆ABC) = ar (DEF) [ यहां हमने माना कि ABC और DEF दो समरुप त्रिभुज हैं ]

अतः, $\frac{ar(\triangle{ABC})}{ar(\triangle{DEF})}=1=\frac{AB^2}{DE^2}=\frac{BC^2}{EF^2}=\frac{CA^2}{FD^2}$

या, AB² = DE² => AB = DE
BC² = EF² => BC= EF
CA² = FD² => CA = FD

अतः, SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता के कसौटी के आधार पर,
$\triangle{ABC}\cong\triangle{DEF}$