Question

एक समलंब ABCD जिसमें AB$\|$DC है,के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer 1

माना कि ABCD एक समलंब चतुर्भुज हैं जहाँ, AB = 2 CD तथा AB || CD है ।

हमे प्राप्त करना है , ar(AOB)/ar(COD)=?

चूँकि AB || CD
चूँकि हम जानते हैं एकांतर अंत: कोण के युग्म बराबर होते हैं , अत: ∠OAB=∠OCD तथा ∠OBA=∠ODC


अब, △ AOB तथा △ COD में,

∠AOB=∠COD [चूँकि उर्ध्वाकार सम्मुख कोण बराबर होते हैं]

∠OAB=∠OCD [चूँकि एकांतर अंत: कोणों के युग्म बराबर होते हैं।]

तथा, ∠OBA=∠ODC [चूँकि एकांतर अंत: कोणों के युग्म बराबर होते हैं।]

अत: A-A-A (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर

∆AOB $\sim$ ∆COD

हम यह भी जानते हैं कि दो समरुप त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात , संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होतव है ।
अत:, ar(△AOB)/ar(△COD)=(AB/CD)2

⇒ar(△AOB)/ar(△COD)=(2CD/CD)2

[∵ AB = 2CD (प्रश्न के अनुसार)]

⇒ar(△AOB)/ar(△COD)=( 2/1 )2=4/1

⇒ar(△AOB):ar(△COD)=4 : 1