Question

एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिन्दु पर $45\textdegree$ के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।

Answer 1

Answer:    Step-by-step explanation:

रचना के चरण :  

(1) O को केंद्र मानकर तथा कोई त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण OA  को बिंदु B  पर प्रतिच्छेद करता है।

(2) B को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या, जो पहले ली गई थी से एक चाप खींचते हैं जो चरण (1) में खींचे गए चाप को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है।

(3) C को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या, जो पहले ली गई थी से एक चाप खींचते हैं,  जो चरण (1) में खींचे गए चाप को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है।

(4) C से जाने वाली किरण OE खींचते हैं।  तब ∠EOA = 60°

(5) D से जाने वाली किरण OF खींचते हैं। तब ∠FOE = 60°

(6) पुनः C तथा D को केंद्र मानकर तथा ½ CD से बड़ी त्रिज्या लेकर चाप लगाइए, जो एक दूसरे को G पर प्रतिच्छेद करते है।

(7) किरण OG खींचते हैं‌ । यह किरण OG , ∠FOE  का समद्विभाजक होती है।

अर्थात ∠FOG = ∠EOG = 1/2 ∠FOE = 1/2 (60°) = 30°

अतः ∠GOA = ∠GOE + ∠EOA  

= 30° + 60°

∠GOA = 90°

(8) अब, O को केंद्र मानकर तथा कोई त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो किरण OA  तथा OG को क्रमशः बिंदु H तथा I पर प्रतिच्छेद करता है।

(9) पुनः H तथा I को केंद्र मानकर तथा ½ HI से बड़ी त्रिज्या लेकर चाप लगाइए, जो एक दूसरे को J पर प्रतिच्छेद करते है।

(7) किरण OJ खींचते हैं‌ । यह किरण OJ, ∠GOA  का समद्विभाजक होती है।

अर्थात ∠GOJ = ∠AOJ = 1/2 GOA = 1/2 (90°) = 45°

 

औचित्य प्रतिपादन :  

BC को मिलाते है।

तब OC = OB = BC। (रचना से)

∴   ΔCOB एक समबाहु त्रिभुज है।

तब  ∠COB =60°

∴   ∠ EOA = 60°

 

(ii) CD को मिलाते है।

तब , OD = OC = CD (रचना से)

अतः ΔDOC एक समबाहु त्रिभुज है।

तब      ∠DOC = 60° .

∴   ∠ FOE = 60°    

 

(iii) CG तथा  DG को मिलाते है।

ΔODG तथा ΔOCG में,  

OD = OC  (एक ही चाप की त्रिज्या)  

DG = CG (एक ही त्रिज्या के चाप)  

OG = OG   [उभयनिष्ठ]  

∴ ΔODG≅ Δ OCG  

[SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा)      

∴ ∠DOG =∠COG (CPCT द्वारा)  

∴   ∠FOG = ∠EOG =1/2 ∠FOE = 1/2 (60°) = 30°

अतः, ∠GOA = ∠GOE + ∠EOA = 30°  + 60°  = 90°  

(iv) HJ IJ  

ΔOIJ तथा ΔOHJ में,  

OI = OH  (एक ही चाप की त्रिज्या)  

IJ = HJ (एक ही त्रिज्या के चाप)  

OJ = OJ   [उभयनिष्ठ]  

∴ ΔOIJ ≅ ΔHOJ  

[SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा)      

∴ ∠IOJ =∠HOJ (CPCT द्वारा)  

∴   ∠AOJ = ∠GOJ =1/2 ∠GOA = 1/2 (90°) = 45°

अतः ∠AOJ = 45°

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

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