Question

Evaluate$\sf \: lim_{x \to 0}$
Where, 
$\sf \: f(x) = \begin{cases} \sf \dfrac{|x|}{x}, \: \: x \neq 0\\ \sf x \\ \sf 0, \: x = 0 \end{cases}$
​

Answer 1

$\\ \bigstar \purple{ \underline{ \underline{ \large \rm{Solution :- }}}}$

Finding limit at x = 0

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \red{\:LHS \: At \: x \rightarrow \: 0}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x \rightarrow \: 0 ^{ - } } \: f(x) = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: f(0 - h)$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: f(- h)$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: \frac{ \mid - h \mid}{ - h}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: \frac{ h }{ - h}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: { - 1}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \green{ \: { - 1}}$

Now,

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \: \red{\:RHS \: At \: x \rightarrow \: 0}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x \rightarrow \: 0 ^{ + } } \: f(x) = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: f(0 + h)$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: f(h)$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: \frac{ \mid h \mid}{ h}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: \frac{ h }{ h}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \lim_{h\rightarrow \: 0 ^{ } } \: { 1}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \green{ \: { 1}}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Since, LHS ≠ RHS$

$\\ \: \: \therefore \: \: \: \sf \: \: \: \: \: \: \lim_{x \rightarrow 0} \: f(x) \: does \: not \: exist.$