Question

express (a²+b²)(c²+d²) as the sum of two squares​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$

$\underline{\textbf{To express:}}$

$\mathsf{(a^2+b^2)(c^2+d^2)\;as\;sum\;of\;two\;squares}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$

$\mathsf{=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}$

$\mathsf{=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2}$

$\textsf{This can be written as}$

$\mathsf{=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+2\;abcd-2\;abcd}$

$\mathsf{=(ac)^2+(bd)^2+2\;abcd+(ad)^2+(bc)^2-2\;abcd}$

$\mathsf{=[(ac)^2+(bd)^2+2\;(ac)(bd)]+[(ad)^2+(bc)^2-2\;(ad)(bc)]}$

$\mathsf{=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2}$

$\textsf{which is the sum of two squares}$

$\implies\boxed{\mathsf{(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2}}$