Question

फलन f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए ​

Answer 1

हल-

$f(x) = \bf \: {x}^{3} - {6x}^{2} + 11x - 6 \\ \\ \\ \implies \: {x}^{3} - {x}^{2} - {5x}^{2} + 5x + 6x - 6 \\ \\ \\ \implies \: {x}^{2} (x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1) \\ \\ \\ \implies \: (x - 1)( {x}^{2} - 5x + 6) \\ \\ \\ \implies \: (x - 1)( {x}^{2} - 2x - 3x + 6) \\ \\ \\ \implies \: (x - 1) \{x(x - 2) - 3(x - 2) \} \\ \\ \\ \implies \: (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

जब f(x) = 0 , तब x = 1,2,3

अतः

$f(1) = \bf \: ( {1})^{3} - 6(1) {}^{2} + 11(1) - 6 = 0 \\ \\ \\ f(2) = \bf \: (2) {}^{3} - 6(2) {}^{2} + 11(2) - 6 = 0 \\ \\ \\ \:f(3) = \bf \: ( {3})^{3} - 6 {(3)}^{2} + 11(3) - 6 = 0$

अब

f' (x) = 3x² - 12x + 11

x के सभी मानों के लिए f'(x) का अस्तित्व है अतः रोले प्रमेय के सभी प्रतिबंध संतुष्ट हो जाते हैं इसलिए x का एक मान अंतराल (1,2) और(2,3) के मध्य ऐसा होना चाहिए कि f'(x) शून्य होगा

$f' \: (x) = \bf \: {3x}^{2} - 12x + 11 = 0 \\ \\ \\ \bf \implies x \: = \frac{12± \sqrt{( - 12) {}^{2} - 4 \times 3 \times 11 } }{2 \times 3} \\ \\ \\ \implies \bf \: \frac{12± \sqrt{144 - 132} }{6} \\ \\ \\ \implies \bf \: \frac{12± 2 \sqrt{3} }{6} \\ \\ \\ \implies \bf \: \frac{12}{6} ± \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ \\ \\ \implies \boxed{ \bf \: 2± \frac{1}{ \sqrt{3} } } \\ \\ \\ \\ \boxed{ so \: \: \: \: \bf \: 1 < 2 - \frac{1}{ \sqrt{3} } < 2 \: \: \: \: \: and \: \: \: \: \: 2 < 2 + \frac{1}{ \sqrt{3} } < 3}$

अतः रोले प्रमेय सत्यापित होती है