Question

find domain and range:

f(x) = 1/2-sin 3x

Answer 1

Didn’t get the range

Answer 2

Answer:

$\\ \sf \: We \: have \: , \: f \: (x) = \dfrac{1}{2 - sin \: \: 3x}$

$\\ \large{ \underline{ \sf{ \: Domain \: \: of \: \: f \: : \: we \: \: know \: \: that}}} \\ \\ \\ \sf \: - 1 \leqslant \: sin \: 3x \leqslant 1 \: \: for \: \: all \: \: x \: \in \: \: R\\ \\ \\ \implies \sf \: - 1 \leqslant \: - sin \: 3x \leqslant 1 \: \: for \: \: all \: \: x \: \in \: R \\ \\ \\ \implies \sf \: 1 \leqslant 2 \: - sin \: 3x \leqslant 3 \: \: for \: \: all \: \: x \: \in \: R \\ \\ \\ \implies \sf \: 2 - sin \: \: 3x \neq \: 0 \: \: for \: \: any \: \: x \: \in \: R \\ \\ \\ \implies \sf \: f(x) = \dfrac{1}{2 - sin \: \: 3x} \: \: is \: \: defined \: \: for \: \: all \: \: x \: \in \: R$

Hence, domain (f) = R.

_______________________________________

$\\ \large{ \underline{ \sf{ \: Range \: \: of \: \: f \: : \: as \: \: discussed \: \: above}}}$

$\sf \: - 1 \leqslant \: 2 \: -sin \:\:3x \leqslant 3 \: \: for \: \: all \: \: x \: \in \: \: R$

$\implies$ $\sf\dfrac{1}{3}\:\leqslant$ $\sf\dfrac{1}{2 - sin \: \: 3x}\:\leqslant\:1\:\:for\:\:all\:\:x\:\in\:R$

$\implies$$\sf\dfrac{1}{3}\:\leqslant\:f(x)\:\leqslant\:1\:\:for\:\:all\:\:x\:\in\:R$

$\implies$$\sf{f(x)\:\in\:[1/3,1]}$

Hence, range (f) = [ 1/3,1]