Question

find radius of curvature x^2/3 +y^2/3 =a^2/3​

Answer 1

Answer:

x2/3+y2/3=a2/3let x=a3cos3 α,   y=a3 sin3 αDifferentiate wrt α dαdx=a3 3cos2 α(−sin α)dαdy=a3 3sin2 α(cos α)dxdy=−tan αdx2d2y=−sec2 α ∗ dxdα   =−a3 3cos2 α∗sin α−sec2 α

\begin{gathered}\frac{1}{3a^3\ cos^4\ \alpha\ * \ sin\ \alpha} \\ \\ NOW,\ \ \ R\ =\ Radius\ of\ curvature\ at\ (x,y)\ =\ \ \frac{(1+tan^2\ \alpha)^3/2}{\frac{1}{3a^3\ cos^4\ \alpha\ * \ sin\ \alpha}} \\ \\ \ \ \ \ =\ sec^3\ \alpha\ *\ 3a^3\ *\ cos^4\ \alpha\ *\ sin\ \alpha \\ \\ \ \ \ \ \ = 3a^3\ cos\ \alpha\ sin\ \alpha \\ \\ 3a^3\ (xy)^{\frac{1}{3}} / a^2\\ \\ 3a (xy)^{\frac{1}{3}} \\ \\\end{gathered}3a3 cos4 α ∗ sin α1NOW,   R = Radius of curvature at (x,y) =  3a3 cos4 α ∗ sin α1(1+tan2 α)3/2    = sec3 α ∗ 3a3 ∗ cos4 α ∗ sin α     =3a3 cos α sin α3a3 (xy)31/a23a(xy)31