Question

find real solutions of the equation (2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{(2x+1)\,(3x+1),(5x+1)\,(30x+1)=10}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Real solutions of the equation}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{(2x+1)\,(3x+1),(5x+1)\,(30x+1)=10}$

$\mathsf{(3x+1),(5x+1)\,(2x+1)\,(30x+1)=10}$

$\textsf{This can be written as,}$

$\mathsf{(15x^2+8x+1)\,(60x^2+32x+1)=10}$

$\mathsf{(t+1)\,(4t+1)=10}\;\;\mathsf{where\;t=15x^2+8x}$

$\mathsf{4t^2+5t+1=10}$

$\mathsf{4t^2+5t-9=0}$

$\mathsf{4t^2+9t-4t-9=0}$

$\mathsf{t(4t+9)-1(4t+9)=0}$

$\mathsf{(t-1)(4t+9)=0}$

$\implies\mathsf{t-1=0\;\;\;(or)\;\;\;4t+9=0}$

$\mathsf{\begin{array}{l|l}\mathsf{Case(i):\;\;t-1=0}&\mathsf{Case(ii):\;\;4t+9=0}\\\\\mathsf{15x^2+8x-1=0}&\mathsf{60x^2+32x+9=0}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}&\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^2-4(15)(-1)}}{2(15)}}&\mathsf{x=\dfrac{-32\pm\sqrt{32^2-4(60)(9)}}{2(60)}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-8\pm\sqrt{64+60}}{30}}&\mathsf{x=\dfrac{-32\pm\sqrt{1024-2160}}{120}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-8\pm\sqrt{124}}{30}}&\mathsf{x=\dfrac{-32\pm\sqrt{-1136}}{120}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-8\pm\,2\sqrt{31}}{30}}&\mathsf{x=\dfrac{-32\pm\sqrt{1136\,i^2}}{120}}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-4\pm\sqrt{31}}{15}}&\mathsf{x=\dfrac{-32\pm\,i\sqrt{1136}}{120}}\end{array}\right}$

$\therefore\textbf{Real solutions are}\;\bf\;\dfrac{-4+\sqrt{31}}{15},\dfrac{-4-\sqrt{31}}{15}$