Question

Find the local extrema and local extrema of the function f(x)=cos4x defined on (0,π÷2)

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{Function is}$

$\mathsf{f(x)=cos\,4x,\;on\,(0,\frac{\pi}{2})}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{Local extrema}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{f(x)=cos\,4x}$

$\mathsf{f'(x)=-4\,sin4x}$

$\mathsf{f''(x)=-16\,cos4x}$

$\mathsf{For\;critical\;numbers,\;f'(x)=0}$

$\implies\mathsf{-4\,sin4x=0}$

$\implies\mathsf{sin4x=0}$

$\implies\mathsf{4x=n\pi}$

$\implies\mathsf{x=\dfrac{n\pi}{4},\;n\in\,Z}$

$\implies\mathsf{x=\dfrac{\pi}{4}\,\in\,(0,\frac{\pi}{2})}$

$\mathsf{when\,x=\dfrac{\pi}{4},\;\;f''\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-16\,cos\pi=-16(-1)=16\,>\,0}$

$\therefore\mathsf{f(x)\;attains\;local\;minimum\;at\;x=\dfrac{\pi}{4}}$

$\mathsf{Local\;minimum\;value}$

$\mathsf{=f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}$

$\mathsf{=cos4\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}$

$\mathsf{=cos\pi}$

$\mathsf{=-1}$

$\textbf{Answer:}$

$\textsf{Local minimum value is -1}$