Question

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Answer 1

$\boxed{\text{Solution : \: }}$

${ \: = \: \frac{3 \: + \: log_{10} \ \: 343}{2 \: + \: \frac{1}{2} \: log_{10}( \frac{49}{4} ) \: + \: \frac{1}{2} \: log_{10}(\frac{1}{25} ) } } \\ \\ = \frac{3 \: + \: log_{10} \: {7}^{3} }{ \: 2 \: \: + \: \frac{1}{2} \: log_{10} \: ( { \frac{7}{2} })^{2} \: + \: \frac{1}{2} \: log_{10} \: ({ \frac{1}{5} })^{2} }$

$\bold{ Using \: \: identity, \: } \\ \\ \boxed{\implies \: log_{a} \: {b}^{c} \: = \: c \: \: log_{a} \: b \: } \\ \\ = \: \frac{ \: 3 \: + \: 3 \: \: log_{10} \: 7 \: }{ 2 \: + \: ( \: \frac{1}{2} \: \times \: 2 \: ) \: log_{10} \: ( \frac{7}{2} ) \: + \: ( \: \frac{1}{2 } \: \times \: 2 \: ) \: log_{10}( \frac{1}{5} ) } \\ \\ = \: \frac{ \: 3 \: + \: 3 \: \: log_{10} \: 7 }{ \: 2 \: + \: log_{10} \: \frac{7}{2} \: + \: log_{10} \: \frac{1}{5} } \\ \\ \bold{ Using \: \: identity : \: } \\ \\ \boxed{ \: \implies \: log_{a} \: b \: + \: log_{a} \: c \: = \: log_{a}( bc ) } \\ \\ = \frac{3 \: + \: 3 \: \: log_{10} \: 7 }{ \: 2 \: \: + \: log_{10} \: ( \frac{7}{2} \times \: \frac{1}{5} \: ) } \\ \\ = \frac{ \: 3 \: + \: 3 \: \: log_{10} \: \: 7 }{ \: 2 \: + \: log_{10} \: ( \frac{7}{10} ) } \\ \\ \bold{ Using \: \: identity : \: } \\ \\ \boxed{ \implies \: log_{a}( \frac{b}{c} ) \: = \: log_{a} \: b \: - \: log_{a} \: c } \\ \\ = \: \frac{ \: 3 \: + \: 3 \: \: log_{10} \: 7 }{ \: 2 \: + \: log_{10} \: 7 \: - \: log_{10} \: 10 } \\ \\ = \: \frac{3( \: 1 \: + \: log_{10} \: 7 \: )}{ \: 2 \: + \: log_{10} \: 7 \: - \: 1 } \\ \\ = \: \frac { \: 3( \: 1 \: + \: log_{10} \: 7 \: ) }{( \: 1 \: + \: log_{10} \: 7 \: )} \\ \\ = \: 3$$\boxed{\text{ The required answer is 3 \: }}$