Question

Find x+y+z=? such that xy+x+y=23. yz+y+z=31. zx+z+x=47
​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{xy+x+y=23}$

$\mathsf{yz+y+z=31}$

$\mathsf{zx+z+z=47}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{The value of x+y+z}$

$\textbf{Solution:}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{xy+x+y=23}$

$\textsf{Add 1 on bothsides, we get}$

$\mathsf{1+x+y+xy=24}$

$\mathsf{1(1+x)+y(1+x)=24}$

$\mathsf{(1+x)(1+y)=24}$.........(1)

$\mathsf{Similarly}$

$\mathsf{(1+y)(1+z)=32}$.......(2)

$\mathsf{(1+z)(1+x)=48}$.......(3)

$\mathsf{Multiplying\;(1),(2)\,\&\,(3)}$

$\mathsf{(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2=24{\times}32{\times}48}$

$\mathsf{(1+x)(1+y)(1+z)=\sqrt{24{\times}32{\times}48}}$

$\mathsf{(1+x)(1+y)(1+z)=\sqrt{4{\times}6{\times}16{\times}2{\times}8{\times}6}}$

$\mathsf{(1+x)(1+y)(1+z)=2{\times}6{\times}4{\times}4}$

$\mathsf{(1+x)(1+y)(1+z)=192}$......(4)

$\textsf{Divide (4) by (1)}$

$\mathsf{\dfrac{(1+x)(1+y)(1+z)}{(1+x)(1+y)}=\dfrac{192}{24}}$

$\mathsf{1+z=8}$

$\implies\boxed{\mathsf{z=7}}$

$\textsf{Put z=7 in (2), we get}$

$\mathsf{(1+y)(8)=32}$

$\mathsf{1+y=4}$

$\implies\boxed{\mathsf{y=3}}$

$\textsf{Put y=3 in (1), we get}$

$\mathsf{(1+x)(4)=24}$

$\mathsf{1+x=6}$

$\implies\boxed{\mathsf{x=5}}$

$\textsf{Now,}$

$\mathsf{x+y+z=5+3+7=15}$

$\textbf{Answer:}$

$\textsf{The value of x+y+z is 15}$