Question

For A.P show that ap + ap+2q = 2ap+q

Answer 1

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\textsf{For an A.P}$

$\mathsf{a\,_p+a\,_{p+2q}=2\;a\,_{p+q}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\textsf{Let the given A.P be}$

$\mathsf{a,a+d,a+2d,\;.\;.\;.\;.\;.\;.}$

$\mathsf{n\,th\;term\;is}$

$\mathsf{a_n=a+(n-1)d}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{a\,_p+a\,_{p+2q}=}$

$\mathsf{=[a+(p-1)d]+[a+(p+2q-1)d]}$

$\mathsf{=[a+pd-d]+[a+pd+2qd-d]}$

$\mathsf{=2\,a+2\,pd+2qd-2d}$

$\mathsf{=2[a+pd+qd-d]}$

$\mathsf{=2[a+(p+q)d-d]}$

$\mathsf{=2[a+((p+q)-1)d]}$

$\mathsf{=2\,a\,_{p+q}}$

$\implies\boxed{\mathsf{a\,_p+a\,_{p+2q}=2\;a\,_{p+q}}}$