Question

for any two angles A and B prove that Tan(A+B)=tanA+tanB/1-tanA.tanB​

Answer 1

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{tan(A+B)=\dfrac{tan\,A+tan\,B}{1-tanA\,tanB}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\underline{\textbf{Identities used:}}$

$\mathsf{1.\;sin(A+B)=sin\,A\;cos\,B+cos\,A\;sinB}$

$\mathsf{2.\;cos(A+B)=cos\,A\;cos\,B-sin\,A\;sinB}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{tan(A+B)}$

$\mathsf{=\dfrac{sin(A+B)}{cos(A+B)}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,A\;cos\,B+cos\,A\;sinB}{cos\,A\;cos\,B-sin\,A\;sinB}}$

$\textsf{Divide both numerator and denominator by cosA cosB}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{sin\,A\;cos\,B}{cos\,A\;cos\,B}+\dfrac{cos\,A\;sinB}{cos\,A\;cos\,B}}{\dfrac{cos\,A\;cos\,B}{cos\,A\;cos\,B}-\dfrac{sin\,A\;sinB}{cos\,A\;cos\,B}}}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{sin\,A}{cos\,A}+\dfrac{sinB}{cos\,B}}{1-\left(\dfrac{sin\,A}{cos\,A}\right)\left(\dfrac{sin\,B}{cos\,B}\right)}}$

$\mathsf{=\dfrac{tan\,A+tan\,B}{1-tanA\,tanB}}$

$\implies\boxed{\mathsf{tan(A+B)=\dfrac{tan\,A+tan\,B}{1-tanA\,tanB}}}$