Question

for which value of K will the following pair of linear equations have no solution. 3x+y=1, (a-b) x+(k-1)y=2k+1

Answer 1

3x +y = 1 ; (2k –1) x + (k –1) y = 2k + 1     3x +y = 1Subtract 1 both side we get3x + y – 1 = 0 (2k –1) x + (k –1) y   = 2k + 1Subtract 2k +1 both side we get(2k –1) x + (k –1) y – (2k + 1)= 03x+y=1 and(2k-1)x+(k-1)y=2k+1They can be rewrite as:3x + y - 1 = 0 and(2k-1)x + (k-1)y - (2k+1) = 0  Compare with
a1x+by1+c1=0
a2x+by2+c2=0
we get,
a1/a2=3/(2k-1),b1/b1=1/(k-1),c1/c2=-1/-(2k+1)=1/(2k+1)
and for no. solution
a1/a2=b1/b2 is not equal to c1/c2
      take 
a1/a2=b1/b2
Cross multiply we get 3k - 3 = 2k - 1 k = 3-1 k = 2

Answer 2

$\underline\mathfrak{Given:-}$

$\: \: \: \: \: \: \: {({2k} \: - \: {1})} \: x \: + \: {({k} \: - \: {2})} \: y \: \: = \: \: {5}$

$\: \: \: \: \: \: \: {({k} \: + \: {2})} \: x \: + \: y \: \: = \: \: {3}$

$\underline\mathfrak{To \: \: Find:-}$

$\: \: \: \: \: The \: \: value \: \: k \: ?$

$\underline\mathfrak{Solutions:-}$

$\: \: \: \: \: \fbox{\dfrac{a_1}{a_2} \: \: = \: \: \dfrac{b_1}{b_2} \: \: \neq \: \: \dfrac{c_1}{c_2}}$

$\: \: \: \: \: \dfrac{{2k} \: - {1}}{{k} \: + \: {2}} \: \: = \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \neq \: \: \dfrac{5}{3}$

$\: \: \: \: \: \leadsto \dfrac{{2k} \: - {1}}{{k} \: + \: {2}} \: \: = \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \: \: \: .....{(1)}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \neq \: \: \dfrac{5}{3} \: \: \: \: \: .....{(2)}.$

$\: \: \: \: \: Now, \: \: cross \: \: multiple \: \: in \: \: Eq. \: \: {(1)}.$

$\: \: \: \: \: \leadsto \dfrac{{2k} \: - {1}}{{k} \: + \: {2}} \: \: = \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {{2k} \: - {1}} \: \: = \: \: {({k} \: - \: {2})} \: \times \: {{({k} \: + \: {2})}}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {{2k} \: - {1}} \: \: = \: \: {{k}^{2} \: - \: {2}^{2}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: {[(a \: + \: b) \: (a \: - \: b) \: \: = \: \: ({a}^{2} \: - \: {b}^{2}]}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {{2k} \: - {1}} \: \: = \: \: {{k}^{2} \: - \: {4}}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {0} \: \: = \: \: {k}^{2} \: - \: {2k} \: - \: {4} \: + \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {0} \: \: = \: \: {k}^{2} \: - \: {2k} \: - \: {3}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {k}^{2} \: - \: {2k} \: - \: {3}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {k} \: {({k} \: - \: {3})} \: + \: {1} \: {({k} \: - \: {3})}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {({k} \: + \: {1})} \: \: \: {({k} \: - \: {3})}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {k} \: \: = \: \: {-1} \: \: \: Or \: \: \: {k} \: \: = \: \: {3}$

$\: \: \: \: \: Hence, \: \: the \: \: the \: \: value \: \: of \: \: k \: \: is \: \:{-1} \: \: and \: \: {3}.$

$\: \: \: \: \: \dfrac{{k} \: - \: {2}}{{1}} \: \: \neq \: \: \dfrac{5}{3} \: \: \: \: \: .....{(2)}.$

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