Question

गुणांक ज्ञात कीजिए: $x^5$ in $(x + 3)^8$

Answer 1

गुणांक ज्ञात कीजिए: $x^5$ in $(x + 3)^8$

जैसा कि हम जानते हैं द्विपद प्रमेय के द्वारा

${(x + y)}^{n} = ^nC_0 {x}^{n} {y}^{0} + ^nC_1 {x}^{n - 1} {y}^{1} ... + ^nC_n {x}^{0} {y}^{n}$
${x}^{5} = 4th \: term$
$^8C_3 {x}^{5} {(3)}^{3} \\ \\ = \frac{8!}{5!3!} \times 27 \times {x}^{5} \\ \\ = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 3 \times 2} \times 27 {x}^{5} \\ \\ = 56 \times 27 \: {x}^{5} \\ \\ = 1512 \: {x}^{5}$
$x^5$ in $(x + 3)^8$ का गुणांक 1512 होगा|

Answer 2

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: Solution -$

हल : दिए गए प्रसार में व्यापक पद

$T_{r + 1} = {}^{8} c_r \times {x}^{8 - r} \times {3}^{r}$

उक्त पद में x^5 होगा यदि ,

x का घातांक = 8 - r = 5

r = 8 - 5

r= 3

$\implies \: T_4 = {}^{8} c_3 \times {x}^{5} \times {3}^{3}$

x ^5 का गुणांक – $\bf \: {}^{8} c_{3}$× 3³

$= \bf \: \frac{8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3} \times 27 \\ \\ \\ = 1521$