Question

सिद्ध कीजिए कि $\sum_{r=0}^{n} 3^r \, ^n C_r = 4^n$

Answer 1

महत्वपूर्ण तथ्य ☞

ऐसा वीजीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं .

द्विपद ( Binomial ) कहलाता है ।

उदाहरण : a + b, 2x - 3y तथा 2/x - 1/x²

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं , त्रिपद ( Trinomial ) कहलाता है ।

व्यापक रूप से ऐसा व्यंजक जिसमें दो से अधिक पद होते बहुपदी व्यंजक ( Multinomial Expression ) कहलाता है । द्विपद का व्यापक रूप ( x + 1 ) हैं ।

प्रत्येक धन पूर्णाक n के लिए ( x + a )^n का प्रसार द्विपद प्रमेय कहलाता है ।

$\bf \: solution$

हल:-

द्विपद प्रमेय से,

$\bf \: \because \: (1 + x) {}^{n} = \sum_{r=0}^{n} \: \: \: {}^{n}c_r {x}^{r}$

x = 3रखने पर

$\bf \because \: (1 + 3) {}^{n} \sum {}^{n}_{r = 0} \: \: {}^{n} c_r \: \: {x}^{r} \\ \\ \\ \therefore \: \bf \: {(4)}^{n} = \sum {}^{n}_{r = 0} \: \: {}^{n} c_r \: \: {3}^{r} \\ \\ \\ \implies \: \bf \: \sum {}^{n}_{r = 0} \: \: {3}^{r} \times \: {}^{n} c_r \: = (4) {}^{n}$