Question

गुणनखंड ज्ञात कीजिए: (i) $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ (ii) $x^{3} - 3 x^{2} - 9x - 5$
(iii) $x^{3} + 13x^{2} + 32x + 20$ (iv) [tex]2y^{3} + y^{2} - 2y - 1[/tex

Answer 1

Answer:   Step-by-step explanation:

(i) माना p(x) = x³ − 2x² − x + 2

p(x) का अचर पद 2 है।

2 के गुणनखंड ±1 तथा ±2 है।

अब, p(1) = (1)³ −2(1)² − 1 + 2

= 1 − 2 − 1 + 2

= 0

ट्रायल विधि से , हम प्राप्त करते हैं, p(1) = 0  

अतः, (x−1) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है।

x³ − 2x² − x + 2

= x³ − x² - x² + x - 2x + 2

= x²(x - 1) - x (x - 1) - 2(x - 1)

= (x - 1) (x² - x - 2)  

= (x - 1) (x² - 2x + x - 2)  

[मध्य पद के विभक्तिकरण से]

= (x - 1) [x (x - 2) +1(x - 2) ]

= (x - 1) (x - 2) (x + 1)

अतः x³ − 2x² − x + 2 के गुणनखंड (x - 1) (x - 2) (x + 1) है।

 

(ii)

माना p(x) = x³ − 3x² −9 x - 5

p(x) का अचर पद 5 है।

5 के गुणनखंड ±1 तथा ±5 है।

p(5) = (5)³ −3(5)² −9(5)−5

= 125 - 75 - 45 - 5

= 50 - 50

= 0

ट्रायल विधि से , हम प्राप्त करते हैं, p(5) = 0  

अतः, (x−5) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है।

x³ − 3x² −9 x - 5

= x³ − 5x² + 2x² −10x + x  - 5

= x²(x - 5) + 2x(x - 5) + 1(x - 5)

= (x - 5) (x² + 2x + 1)

= (x - 5) (x² + x + x + 1)

[मध्य पद के विभक्तिकरण से]

= (x - 5) [x(x +1) + 1(x + 1)]

= (x - 5) (x +1) (x +1)

अतः x³ − 3x² −9 x - 5  के गुणनखंड  (x - 5) (x +1) (x +1)है।

 

(iii)  

माना p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20

p(x) का अचर पद 20 है।

20 के गुणनखंड ±1, ±2 , ± 3, ±4 , ±5 , ±10 तथा ±20 है।

p(−1) = (−1)³ + 13(−1)² + 32(−1) + 20

= −1 + 13 −32 + 20

= 33− 33

= 0

ट्रायल विधि से , हम प्राप्त करते हैं, p(-1) = 0  

अतः, (x+1) बहुपद p(x) का एक गुणनखंड है।

x³ + 13x² + 32x + 20

= x³ + x² +  12x² + 12x +  20x + 20

= x²(x+1) + 12(x+1) + 20(x+1)

= (x+1)(x² + 12x + 20)

= (x+1)(x² + 10x + 2x + 20)

[मध्य पद के विभक्तिकरण से]

= (x+1)[x (x + 10) + 2(x + 10) ]

= (x+1)(x + 10) (x + 2)

अतः x³ + 13x² + 32x + 20 के गुणनखंड (x+1)(x + 10) (x + 2) है।

 

(iv)

माना p(y) = 2y³ + y² − 2y −1

p(y) का अचर पद 1 है।

1 के गुणनखंड ±1 है।

p(1) = 2(1)³ + (1)² −2(1)−1

= 2 + 1−2−1

= 3 - 3

= 0

ट्रायल विधि से , हम प्राप्त करते हैं, p(1) = 0  

अतः, (y - 1) बहुपद p(y) का एक गुणनखंड है।

2y³ + y² − 2y −1

= 2y³ -  2y² + 3y² − 3y + y −1

= 2y²(y - 1) + 3y(y - 1) + 1(y - 1)

= (y - 1)(2y + 3y + 1)

= (y - 1)(2y² + 2y + y + 1)

[मध्य पद के विभक्तिकरण से]

= (y - 1) [2y(y + 1(y + 1) ]

= (y - 1)(y +1) ( 2y + 1)

अतः 2y³ + y² − 2y −1 के गुणनखंड  (y - 1)(y +1) ( 2y + 1) है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

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