Question

गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं: (i) $p(x) = 2x^{3} + x^{2} - 2x - 1 , g(x) = x + 1$
(ii) $p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 , g(x) = x + 2$
(iii) $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + x + 6 , g(x) = x - 3$

Answer 1

हल :  

i) g(x) = x + 1 का शून्यक x = -1 है।

[∵ x + 1  = 0 , x = - 1]

माना p(x) = 2x³ + x² - 2x –1

p(- 1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1

p(- 1) = 2(- 1) + 1 + 2 – 1  

p(- 1) =  -2 + 1 +1

p(- 1) = -1 + 1

p(- 1) = 0

अतः, g(x), p(x) का  गुणनखंड है।

 

(ii) g(x) = x + 2 का शून्यक x = -2 है।

[∵ x + 2 = 0 , x = - 2]

माना p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1

p(-2) =(-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1

p(-2) = - 8 + 12 – 6 + 1

p(-2) = 4 - 5

p(-2) = -1

p(-2) ≠ 0  

अतः , g(x), p(x) का  गुणनखंड नहीं है।

 

(iii) g(x) = x -  3 का शून्यक  x = 3 है।

[∵ x - 3  = 0 , x = 3]

माना p(x) = x³ – 4x² + x + 6

p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6

p(3) = 27 – 36 + 9  

p(3)  = - 9 + 9

p(3)  = 0

अतः , g(x), p(x) का  गुणनखंड नहीं है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।

 

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बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड $x + 1$ है। (i) $x^{3} + x^{2} + x + 1$ (ii) $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$

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Answer 2

$\textbf{\underline{\underline{According\:to\:the\:Question}}}$  

g(x) = x + 1

⇒ x + 1  = 0

x = - 1

Substitute the value of x :-

p(x) = 2x³ + x² - 2x - 1

p(- 1) = 2(-1)³ + (-1)² - 2(-1) - 1

p(- 1) = 2(- 1) + 1 + 2 - 1  

p(- 1) =  -2 + 1 + 1

p(- 1) = -1 + 1

p(- 1) = 0

 

(ii) g(x) = x + 2

x + 2 = 0

x = - 2

Substitute the value of x :-

p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1

p(-2) =(-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1

p(-2) = - 8 + 12 – 6 + 1

p(-2) = 4 - 5

p(-2) = -1

p(-2) ≠ 0  

 

(iii) g(x) = x -  3

x - 3  = 0

x = 3

Substitute the value of x :-

p(x) = x³ - 4x² + x + 6

p(3) = (3)³ - 4(3)² + 3 + 6

p(3) = 27 - 36 + 9  

p(3)  = - 9 + 9

p(3)  = 0