Question

একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা h , অর্ধ শীর্ষ কোণ θ , বক্রতলের ক্ষেত্রফল s, এবং ঘনফল v হলে। প্রমাণ করে দেখাও যে, s : v = 3 : h sin θ​

Answer 1

$\huge\mathfrak{Nomoshkar!!}$

$\huge\fcolorbox{black}{aqua}{Solution:-}$

✒ আমি দুটো পদ্ধতিতে সমাধান করার চেষ্টা করলাম, বীজগণিত ও অবকলন করে,

(চিত্র সংযোজিত)

ধরা যাক, ʀ ব্যাসার্ধের ʜ উচ্চতা বিশিষ্ট শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল s।

কৌণিক দুরত্ব ʟ=✓(ʀ^2+ ʜ^2)……….(১)

এখন s= πʀʟ+ πʀ^2…..(২)

বা, ʟ=(s - πʀ^2)/πʀ……………(২ক)

আয়তন, ᴠ= (1/3)πʀ^2ʜ

অথবা, ᴠ=ᴠ^2= (1/9)π^2. ʀ^4.ʜ^2

( আমরা যদি ᴠ^২ কে কোনো মানের জন্য বড় দেখাতে পারি, তবে ᴠ ও সেই মানের জন্য বৃহত্তম হবে।)

ᴠ=(1/9) π^2.ʀ^4. (ʟ^2- ʀ^2)

=(1/9) π^2.ʀ^4. [{(s-πʀ^2)/πʀ}^2- ʀ^2]

= (1/9)(π^2. ʀ^4. /π^2.ʀ^2) {s^2 - 2sπʀ^2 + π^2.ʀ^4 - π^2.ʀ^4)

= (1/9)(ʀ^2)(s^2 - 2.s π.ʀ^2)

=(1/9)(s^2. ʀ^2 - 2.s. π. ʀ^4)…….(৩)

= (1/9) [(s^3/8π) - { (s✓s/2✓2✓π)^2 - 2(s✓s/2✓2✓π)(✓2✓π✓s.ʀ^2) + (✓2✓π✓s.ʀ^2)^2}]

= (1/9)[ (s^3/8π) - { (s✓s/2✓2✓π) - 2(s✓s/2✓2✓π) -(✓2✓π✓s.ʀ^2)}^2]

এখন, নীচের রাশি টির মান ০ হলে আয়তন সর্বনিম্ন হবে,

(s✓s/2✓2✓π) - 2(s✓s/2✓2✓π) -(✓2✓π✓s.ʀ^2)= 0

=> s= 4 π ʀ^2

(৩) নং সমীকরণ কে অবকলন করে পাই,

ᴠ'= (1/9)(2s^2 ʀ - 2 sπ ʀ^4)=0 ( চরম মানের সূত্র থেকে)

=> s= 4 πʀ^2.

(১) সমীকরণে s এর মান বসিয়ে,

4 πʀ^2= πʀʟ+ π ʀ^2

=> 3 πʀ^2= π ʀ ʟ

=> ʀ/ʟ= 1/3

=> sɪɴ ¢= 1/3

=> ¢= sɪɴ^-1(1/3)

এছাড়া ও জ্যামিতিক বা ত্রিকোণমিতিক প্রমাণ ও সম্ভব |

___________________________

$<marquee>❤আশা করি এটা কাজে লাগবে!❤$