If 0 < θ < π, then minimum value of 3 sin θ + cosec3 θ is :-
Answers
Answered by
4
minimum value of y is when dy / dФ here Ф is theta.
y = 3 sin Ф + cosec 3Ф
dy / dФ = 3 cosФ - 3 cot 3Ф cosec 3Ф = 0
cos Ф = cot 3Ф cosec 3Ф
=> cos Ф = cos 3Ф / sin² 3Ф
=> cos Ф sin² 3Ф = cos 3Ф
=> cos Ф sin² 3Ф = cos 2Ф cos Ф - sin 2Ф sin Ф as cos ( 2Ф + Ф)
=> cos Ф [ sin 2Ф cosФ + cos 2Ф sin Ф ]² = cos 2Ф cos Ф - sin 2Ф sin Ф
cosФ [2sinФ cos²Ф + (2cos²Ф - 1) sinФ]² = (cos²Ф - sin²Ф)cosФ - 2 sin²ФcosФ
cancel cosФ on both sides
=> (4 sinФ cos²Ф - sin Ф)² = cos³Ф - 3 sin²Ф cosФ
=> sin² Ф (4 cos² Ф - 1)² = cos³ Ф - 3 (1-cos²Ф) cosФ
=> (1-cos²Ф] [16 cos^4 Ф +1 - 8 cos² Ф ] = cosФ [ cos² Ф - 3 + 3 cos² Ф]
- 16 cos^6 Ф + 24 cos^4 Ф - 9 cos² Ф + 1 = cosФ [ 4 cos² Ф -3 ]
y = 3 sin Ф + cosec 3Ф
dy / dФ = 3 cosФ - 3 cot 3Ф cosec 3Ф = 0
cos Ф = cot 3Ф cosec 3Ф
=> cos Ф = cos 3Ф / sin² 3Ф
=> cos Ф sin² 3Ф = cos 3Ф
=> cos Ф sin² 3Ф = cos 2Ф cos Ф - sin 2Ф sin Ф as cos ( 2Ф + Ф)
=> cos Ф [ sin 2Ф cosФ + cos 2Ф sin Ф ]² = cos 2Ф cos Ф - sin 2Ф sin Ф
cosФ [2sinФ cos²Ф + (2cos²Ф - 1) sinФ]² = (cos²Ф - sin²Ф)cosФ - 2 sin²ФcosФ
cancel cosФ on both sides
=> (4 sinФ cos²Ф - sin Ф)² = cos³Ф - 3 sin²Ф cosФ
=> sin² Ф (4 cos² Ф - 1)² = cos³ Ф - 3 (1-cos²Ф) cosФ
=> (1-cos²Ф] [16 cos^4 Ф +1 - 8 cos² Ф ] = cosФ [ cos² Ф - 3 + 3 cos² Ф]
- 16 cos^6 Ф + 24 cos^4 Ф - 9 cos² Ф + 1 = cosФ [ 4 cos² Ф -3 ]
kvnmurty:
The given expression is minimum between Ф = 21.61 deg and 30 degrees. cosec 3Ф meets 3 sinФ at Ф=21.61 deg. During this domain, cosec 3Ф is decreasing & sin Ф is increasing.
minimum value comes at theta = 18 degrees
minimum value is possibly 2.18
Similar questions