Question

If a 2 + b 2 +c 2 - ab - bc - ca=0, prove that a=b=c.

Answer 1

a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0
Multiply both sides with 2,
we get  2( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0
 
⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0
 
⇒ (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = 0

⇒ (a –b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0


Since the sum of square is zero then each term should be zero
⇒ (a –b)2 = 0,  (b – c)2 = 0, (c – a)2 = 0
⇒ (a –b) = 0,  (b – c) = 0, (c – a) = 0
⇒ a = b,  b = c, c = a
    a = b = c