Question

If a⁴ + 1/a⁴ = 527, then find the value of the following.

a) a + 1/a

b) a³ + 1/a³

​

Answer 1

EXPLANATION.

⇒ (a⁴ + 1/a⁴) = 527.

As we know that,

Formula of :

⇒ (x - y)² = x² + y² - 2xy.

Using this formula in the equation, we get.

⇒ (a² + 1/a²)² = 527.

⇒ (a)⁴ + (1/a)⁴ - 2(a²)(1/a²) = 527.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ - 2 = 527.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 527 + 2.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 529.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ = (23)².

⇒ (a² + 1/a²)² = (23)².

⇒ a² + 1/a² = 23.

Now, we can write equation as,

⇒ (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2(a)(1/a).

⇒ (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2.

Put the value of (a² + 1/a² = 23) in the equation, we get.

⇒ (a + 1/a)² = 23 + 2.

⇒ (a + 1/a)² = 25.

⇒ (a + 1/a) = √25.

⇒ (a + 1/a) = 5.

Now, as we know that,

Formula of :

⇒ (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

Using this formula in the equation, we get.

⇒ (a + 1/a)³ = a³ + 3(a)²(1/a) + 3(a)(1/a)² + (1/a)³.

⇒ a³ + 3(a)²(1/a) + 3(a)(1/a)² + (1/a)³ = (5)³.

⇒ a³ + 3a + 3/a + 1/a³ = 125.

⇒ a³ + 3(a + 1/a) + 1/a³ = 125.

Put the values of (a + 1/a = 5) in the equation, we get.

⇒ a³ + 3(5) + 1/a³ = 125.

⇒ a³ + 1/a³ + 15 = 125.

⇒ a³ + 1/a³ = 125 - 15.

⇒ a³ + 1/a³ = 110.

Answer 2

Step-by-step explanation:

EXPLANATION.

⇒ (a⁴ + 1/a⁴) = 527.

As we know that,

Formula of :

⇒ (x - y)² = x² + y² - 2xy.

Using this formula in the equation, we get.

⇒ (a² + 1/a²)² = 527.

⇒ (a)⁴ + (1/a)⁴ - 2(a²)(1/a²) = 527.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ - 2 = 527.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 527 + 2.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 529.

⇒ a⁴ + 1/a⁴ = (23)².

⇒ (a² + 1/a²)² = (23)².

⇒ a² + 1/a² = 23.

Now, we can write equation as,

⇒ (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2(a)(1/a).

⇒ (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2.

Put the value of (a² + 1/a² = 23) in the equation, we get.

⇒ (a + 1/a)² = 23 + 2.

⇒ (a + 1/a)² = 25.

⇒ (a + 1/a) = √25.

⇒ (a + 1/a) = 5.

Now, as we know that,

Formula of :

⇒ (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

Using this formula in the equation, we get.

⇒ (a + 1/a)³ = a³ + 3(a)²(1/a) + 3(a)(1/a)² + (1/a)³.

⇒ a³ + 3(a)²(1/a) + 3(a)(1/a)² + (1/a)³ = (5)³.

⇒ a³ + 3a + 3/a + 1/a³ = 125.

⇒ a³ + 3(a + 1/a) + 1/a³ = 125.

Put the values of (a + 1/a = 5) in the equation, we get.

⇒ a³ + 3(5) + 1/a³ = 125.

⇒ a³ + 1/a³ + 15 = 125.

⇒ a³ + 1/a³ = 125 - 15.

⇒ a³ + 1/a³ = 110.