Question

If ab+ bc+ ca= 0 . find the value of 1/a²-bc + 1 /b²-ca + 1/c²-ab

Answer 1

Given 
ab + bc + ca = 0
⇒  bc = - ab - ca = -a (b+c)
 ⇒ a² - bc  =  a (a - b - c)

similarly,
 b² - ca = b (b - c - a)          and    c² - ab = c (c - a - b)

1/(a²-bc)  + 1/(b²-ca)  + 1/(c² -ab) 
   = [(b²-ca)(c²-ab) + (c²-ab)(a²-bc) + (a²-bc)(b²-ca) ] / [(a²-bc)(b²-ca)(c²-ab)]

we simplify the numerator.
   = [ b²c² - ac³ - a b³ +a²bc +a²c² - ba³ - bc³ + ab²c + a²b² - cb³ -ca³ + abc² ] 
   = [ b²(c²-ab+ac+a²-bc) + c²(-ac+a²-bc+ab) + a² (bc-ab-ca) 

  we use the given identity.

  = [ b² (c² +a²+2 ac) + c² (a² +2ab) + a²(2bc) ]
  = [ b² (c + a)² +  a² c² + 2a²bc + 2abc² ]
  = [ { bc + ba}² + a²c² + 2ac (ab + bc) ]

we use the given identity again.

  = [  {-ac}²  + a² c² + 2 ac (-ac) ] 
  = [   {-ac}²  + a² c² - 2 a²c²]
= [   {-ac}²  - a² c² ]
= [   -a²c² - a² c² ]
= 0

⇒0