Question

If α and β be the roots of the equation x2

– 2x

+ 2 = 0, then the least value of n for which



α

β



n

= 1 is ​

Answer 1

Correct Question:

If α and β be the roots of the equation ${x}^{2}-2x+2=0$, then what is the least value of n for which αβn = 1

Answer:

$\large\boxed{\sf{n=\dfrac{1}{2}}}$

Step-by-step explanation:

Given, a quadratic equation,

${x}^{2} - 2x + 2 = 0$

Also, the roots are $\alpha$ and $\beta$.

It's being given that ,

$\alpha \beta n = 1$

where, n is any real number.

To find the least value of n,

We know that, for a given quadratic equation,

$a {x}^{2} + bx + c = 0$

The product of roots is given by $\bold{\dfrac{c}{a}}$.

Therefore,in the given equation, we have,

$\alpha \beta = \dfrac{2}{1} \\ \\ = > \alpha \beta = 2$

Substituting this value in given condition, we have,

$= > 2n = 1 \\ \\ = > n = \dfrac{1}{2}$

Hence, the required value of n is $\bold{\dfrac{1}{2}}$.

Answer 2

Answer:

4

Step-by-step explanation:

Hi friend,                                              I guess your question was x^2 - 2x + 2 = 0  has roots α and β, then find the least value of ( α/β  )n = 1, then find the least value of n. Well, this question was asked in JEE. Here is the solution for it,                                                                            We know that α + β = (-b)/a  = 2/1  = 2.                                         ⇒ Let us assume that α = 1 + k and β = 1 – k, for some number k.                                                                                           ⇒ This obeys our condition of α + β = 2.                                                                                                                                          ⇒ We also know that  αβ = c/a  = 2/1  = 2                                                                                                                                      ⇒ (1 + k)(1 – k) = 2                                                                                                                                                                ⇒ 1^2 – k^2 = 2                                                                                                       [Using (a+b)(a-b) = a^2 – b^2]                                                                                               ⇒ 1 - 2 = k^2                                                                                                                                                                              ⇒ √(-1) = k                                                                                                                                                                              So we get, ((1+√(-1))/(1-√(-1)))n = 1                                                                                                                                                        ⇒(((1+√(-1 ))(1+√(-1 )))/((1-√(-1))(1+√(-1 )))  )n = 1       [On rationalizing]                                                                                                                                                                                       ⇒((1-1+2√(-1 ))/(1-(-1))  )n = 1                                                                                                                                       ⇒((2√(-1 ))/2  )n = 1                                                                                                                                                                 ⇒((1√(-1 ))/1  )n = 1                                                                                                                                                                 (√(-1) )n = 1                                                                                                                                                                               If we replace n = 2, then we get -1 = 1, which is not true , on replacing n = 4 , we get 1 = 1 which is true, So from this n can be any multiple of 4, so the least value of n = 4.