Question

If cos theta + sin theta = √2cos theta then show that cos theta -sin theta=√2sin theta

Answer 1

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Answer 2

$\underline\mathfrak{Given:-}$

• $\: \: \: \: \: \: \: Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset \: \: = \: \: \sqrt{2} \: Cos\emptyset$

$\underline\mathfrak{Prove \: \: That:-}$

• $\: \: \: \: \: \: \: Cos\emptyset \: - \: Sin\emptyset \: \: = \: \: \sqrt{2} \: Sin\emptyset$

$\underline\mathfrak{Proof:-}$

• $\: \: \: \: \: \: \: Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset \: \: = \: \: \sqrt{2} \: Cos\emptyset$

$\: \: \: \: \: \underline{Squaring \: \: on \: \: both \: \: the \: \: sides, \: \: we \: \: get}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {(Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset)}^{2} \: \: = \: \: {(\sqrt{2} \: Cos\emptyset)}^{2}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {Cos}^{2}\emptyset \: + \: {Sin}^{2}\emptyset \: + \: {2} \: Cos\emptyset \: Sin\emptyset \: \: = \: \: {2} \: {Cos}^{2}\emptyset$

$\: \: \: \: \: \therefore {Cos}^{2}\emptyset \: + \: {Sin}^{2}\emptyset \: \: = \: \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {1} \: + \: {2} \: Cos\emptyset \: Sin\emptyset \: \: = \: \: {2} \: {Cos}^{2}\emptyset$

$\: \: \: \: \: \leadsto {2} \: Cos\emptyset \: Sin\emptyset \: \: = \: \: {2} \: {Cos}^{2}\emptyset \: - \: {1}$

$\: \: \: \: \: Now,$

$\: \: \: \: \: \leadsto {(Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset)}^{2} \: \: = \: \: {Cos}^{2}\emptyset \: + \: {Sin}^{2}\emptyset \: - \: {2} \: Cos\emptyset \: Sin\emptyset$

$\: \: \: \: \: \therefore {Cos}^{2}\emptyset \: + \: {Sin}^{2}\emptyset \: \: = \: \: {1}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {(Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset)}^{2} \: \: = \: \: {1} \: - \: {({Cos}^{2}\emptyset \: - \: {1})}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {(Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset)}^{2} \: \: = \: \: {2} \: - \: {Cos}^{2}\emptyset$

$\: \: \: \: \: \leadsto {(Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset)}^{2} \: \: = \: \: {2} \: - \: {2} \: {({1} \: - \: {Sin}^{2}\emptyset)}$

$\: \: \: \: \: \leadsto {(Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset)}^{2} \: \: = \: \: {2} \: - \: {2} \: + \: {{2} \: Sin}^{2}\emptyset$

$\: \: \: \: \: \leadsto {(Cos\emptyset \: + \: Sin\emptyset)}^{2} \: \: = \: \: {{2} \: Sin}^{2}\emptyset$

• $\: \: \: \: \: \: Taking \: \: square \: \: root \: \: on \: \: both \: \: sides, \: \: we \: \: get.$

$\: \: \: \: \: \: \: Cos\emptyset \: - \: Sin\emptyset \: \: = \: \: \sqrt{2} \: Sin\emptyset$

$\: \: \: \: \: \: proved.$

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