Question

If cosec tita+cot tita : k then prove that cos tita : k2-1/k2+1

Answer 1

cosec β + cot β = k
⇒1/sin β + cos β/sin β = k
⇒(1 + cos β) / sin β = k
⇒(1 + cos β) / √(1 - cos² β) = k
⇒(1 + cos β) / √(1 + cos β)(1 - cos β)= k
⇒√[(1 + cos β) / (1 - cos β)] = k
⇒(1 + cos β) / (1 - cos β) = k²/1
⇒[(1 + cos β) - (1 - cos β) ]/[(1 - cos β) + (1 + cos β) ] = (k²-1)/(k²+1)
(using the formula if $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$
then $\frac{a-b}{a+b}$ = $\frac{c-d}{c+d}$)

⇒(2 cos β)/ 2 = (k²-1)/(k²+1)
⇒cos β = (k²-1)/(k²+1)

Answer 2

Δ Given that ,
                      cosecα+cotα = K
             
  $\frac{1}{sin \alpha } + \frac{cos \alpha }{sin \alpha } =K$

or,  $\frac{1+cos \alpha }{sin \alpha } =K$

or,$cos \alpha +1=K.sin \alpha$
Now squaring both side of this Eqn,
or,     $(cos \alpha +1)^{2} = (Ksin \alpha )^{2}$
or,     $cos^{2} \alpha +1+2cos \alpha = K^{2} sin^{2} \alpha =k^{2}.(1- cos^{2} \alpha )$

or,     $cos^{2} \alpha +K^{2} . cos^{2} \alpha +2cos \alpha +1= K^{2}$

or,     $(1+ K^{2} ) cos^{2} \alpha +2cos \alpha +(1- K^{2})=0$

or,     $( K^{2} +1) cos^{2} \alpha +(1+ K^{2} )cos \alpha +(1- K^{2} )cos \alpha +(1- K^{2} )=0$

or,     $(1+ K^{2} ).cos \alpha (cos \alpha +1)+(1- K^{2} )(cos \alpha+1 )=0$

or,    $[(1+K^{2} )cos \alpha +(1- K^{2} )][cos \alpha +1]=0$

therefore ,   
                   $(1+K^{2} )(cos \alpha )+(1- K^{2} )=0$

or,              $(1+ K^{2})cos \alpha =-(1- K^{2})= K^{2}-1$
 
so,         $cos \alpha = \frac{ K^{2}-1 }{ K^{2}+1 }$
                                                            Proved
And,         cosα+1 = 0
           so, cosα = -1