Question

If cosecA-sinA=l and secA-cosA=m then show that l 2 m 2 (l 2 +m 2 +3)=1

Answer 1

cosecA-sinA=l 
or, 1/sinA-sinA=l
or, (1-sin²A)/sinA=l
or, l=cos²A/sinA
secA-cosA=m
or, 1/cosA-cosA=m
or, (1-cos²A)/cosA=m
or, m=sin²A/cosA
∴, l²m²(l²+m²+3)
=(cos²A/sinA)²×(sin²A/cosA)²×[(cos²A/sinA)²+(sin²A/cosA)²+3]
=cos²Asin²A×(cos⁴A/sin²A+sin⁴A/cos²A+3)
=cos²Asin²A×(cos⁶A+sin⁶A+3sin²Acos²A)/sin²Acos²A
=(sin²A)³+(cos²A)³+3sin²Acos²A
=(sin²A+cos²A)³-3sin²Acos²A(sin²A+cos²A)+3sin²Acos²A 
[∵, x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)]
=1³-3sin²Acos²A+3sin²Acos²A [∵, sin²A+cos²A=1]
=1 (Proved)

Answer 2

l = cosecA - sinA  = 1/sinA - sinA
  = (1 - sin²A) / sinA   = cos²A / sinA

m = secA - cosA  =  1/cosA  - cosA  
    = (1 - cos²A)/ cosA  = sin²A / cosA

=>  l² m² = cos²A sin²A

=> l² + m² + 3
   = cos⁴A /sin²A   + sin⁴A / cos²A  + 3 
   = [ cos⁶A + sin⁶A ] / [ sin²A cos²A ]   + 3
   = (cos²A + sin²A)(cos⁴A - cos²A sin²A + sin⁴A)/(sin²A cos²A)  + 3
   = [ (cos²A + sin²A)² - 3 cos²A sin²A ] / (sin²A cos²A )    + 3
   =  1 / (sin²A cos²A)  +  3  - 3
   = 1/ (sin²A  cos²A)

So LHS = 1  on multiplying the terms.