Question

if factors of cubic polynomial x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-a) (x-b) (x-c), then evaluate the value of 2a + b + c, when a < b < c​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given cubic polynomial is represented as

$\rm :\longmapsto\: {x}^{3} - 6 {x}^{2} + 11x - 6 = (x - a)(x - b)(x - c)$

Let first factorize the cubic polynomial,

$\rm :\longmapsto\:Let \: f(x) = {x}^{3} - {6x}^{2} + 11x - 6$

$\rm :\longmapsto\:Let \: x = 1$

So,

$\rm :\longmapsto\:f(1) = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 11 \times 1 - 6$

$\rm \: \: = \: 1 - 6 + 11 - 6$

$\rm \: \: = \: 12 - 12$

$\rm \: \: = \: 0$

$\bf\implies \:x - 1 \: is \: a \: factor \: of \: f(x).$

So,

☆ By long division, we have

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{gathered} \:\: \begin{array}{c|c} {\underline{\sf{}}}&{\underline{\sf{\:\: {x}^{2} - 5x + 6\:\:}}}\\ {\underline{\sf{x - 1}}}& {\sf{\: {x}^{3}-{6x}^{2} + 11x - 6 \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{ \: \: -{x}^{3} \: +{x}^{2}   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:\:}} \\ {{\sf{}}}& {\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \: -  {5x}^{2} + 11x - 6  \:  \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \: \: \: \: \: \: 5{x}^{2} - 5x  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \: \: \: \: \: \: \: \: 6x - 6 \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \: - 6x + 6\:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  0\:\:}}  \end{array}\end{gathered}\end{gathered}\end{gathered}$

We know,

• Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

$\rm :\longmapsto\:f(x) = (x - 1)( {x}^{2} - 5x + 6)$

$\rm \: \: = \: (x - 1)( {x}^{2} - 3x - 2x + 6)$

$\rm \: \: = \: (x - 1)\bigg(x(x - 3) - 2(x - 3)\bigg)$

$\rm \: \: = \: (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

$\bf\implies \: {x}^{3} - {6x}^{2} + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

☆ On comparing with,

$\rm :\longmapsto\: {x}^{3} - 6 {x}^{2} + 11x - 6 = (x - a)(x - b)(x - c)$

☆ We get ,

$\rm :\longmapsto\: (x - 1)(x - 2)(x - 3) = (x - a)(x - b)(x - c)$

As it is given that a < b < c

$\bf\implies \:a = 1 \: \: and \: \: b = 2 \: \: and \: \: c = 3\:$

Now,

Consider,

$\bf :\longmapsto\:2a + b + c$

$\rm \: \: = \: 2 \times 1 + 2 + 3$

$\rm \: \: = \: 2 + 2 + 3$

$\rm \: \: = \: 7$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bf\implies \:2a + b + c = 8}$