Question

if if a2+ 1/a2 = 18, find the value of a3-1/a3, using only the positive value of a-1/a.

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{a^2+\dfrac{1}{a^2}=18}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of}$

$\mathsf{a-\dfrac{1}{a}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{a^2+\dfrac{1}{a^2}=18}$

$\textsf{Add 2 on bothsides we get,}$

$\mathsf{a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=20}$

$\mathsf{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2=20}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-4}$

$\mathsf{\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2=20-4}$

$\mathsf{\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2=16}$

$\mathsf{a-\dfrac{1}{a}=\sqrt{16}}$

$\implies\boxed{\mathsf{a-\dfrac{1}{a}=4}}$

$\textsf{We know that,}$

$\mathsf{(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)}$

$\mathsf{\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^3=a^3-\dfrac{1}{a^3}-3\left(a-\dfrac{1}{a}\right)}$

$\mathsf{(4)^3=a^3-\dfrac{1}{a^3}-3(4)}$

$\mathsf{64=a^3-\dfrac{1}{a^3}-12}$

$\mathsf{a^3-\dfrac{1}{a^3}=64+12}$

$\implies\boxed{\mathsf{a^3-\dfrac{1}{a^3}=76}}$