Question

If p q r are unit vectors such that p is perpendicular to q and r and p+q+r = 1 then angle between q and r is

Answer 1

$\underline{\textsf{Given:}}$

$\textsf{p,q,r are unit vectors}$

$\mathsf{p{\perp}q,\;p{\perp}r,\;|p+q+r|=1}$

$\underline{\textsf{To find:}}$

$\textsf{The angle between q and r}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{Since p,q,r are unit vectors and p is perpendicular to q and r,}$

$\mathsf{|p|=|q|=|r|=1}\,\textsf{and}$

$\mathsf{p.q=p.r=0}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{|p+q+r|=1}$

$\mathsf{|p+q+r|^2=1^2}$

$\mathsf{|p|^2+|q|^2+|r|^2+2(p.q+q.r+p.r)=1}$

$\mathsf{1^2+1^2+1^2+2(0+q.r+0)=1}$

$\mathsf{1+1+1+2\,q.r=1}$

$\mathsf{3+2\,q.r=1}$

$\mathsf{2\,q.r=1-3}$

$\mathsf{2\,q.r=-2}$

$\mathsf{2|q|\,|r|\,cos\theta=-2}$

$\mathsf{2(1)(1)\,cos\theta=-2}$

$\mathsf{2\,cos\theta=-2}$

$\mathsf{cos\theta=-1}$

$\implies\mathsf{\theta=180^{\circ}}$

$\therefore\textsf{The angle between q and r is}\;\mathsf{180^{\circ}}$