Question

If root of the equation (c2-ab)x2-2(a2-bc)x+b2-ac=0 are equal, then prove that either a=0 or a3+b3+c3=3abc

Answer 1

Hey mate ..
=========

Given, equation is:

(c^2 – ab) x^2 – 2 (a^2 – bc) x + (b^2 – ac) = 0

To prove: a = 0 or a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Proof: From the given equation, we have

a = (c^2 – ab)

b = –2 (a^2 – bc)

c = (b^2 – ac)

It is being given that equation has real and equal roots

∴ D = 0

⇒ b^2 – 4ac = 0

On substituting respective values of a, b and c in above equation, we get

[–2 (a^2 – bc)]2 – 4 (c^2 – ab) (b^2 – ac) = 0

=> 4 (a^2 – bc)2 – 4 (c^2 b^2 – ac^3 – ab^3 + a^2 bc) = 0

4 (a^4 + b 2c 2 – 2a 2 bc) – 4 (c^2 b^2 – ac^3 – ab^3 + a^2bc) = 0

=> a^4 + b^2 c^2 – 2a^2 bc – b^2 c^2 + ac^3 + ab^3 – a^2 bc = 0

=> a^4 + ab^3 + ac^3 –3a^2bc = 0

=> a [a^3 + b^3 + c^3 – 3abc] = 0

=> a = 0 or a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Hope it helps !!

Answer 2

Hi ,

Compare given equation with ,

Ax² + Bx + C = 0 ,

A = c² - ab ;

B = - 2( a² - bc ) ;

C = b² - ac ;

It is given that , roots of the equation

are equal ,

Therefore ,

Discreaminant = 0

B² - 4AC = 0

[-2(a² - bc)]² - 4(c² - ab ) (b² -ac ) = 0

4(a⁴-2a²bc+b²c²)-4(b²c²-ac³-ab³+a²bc)=0

4[a⁴-2a² bc+b²c² - b² c² +ac³+ab³-a²bc ]=0

a⁴ - 3a²bc + ac³ + ab³ = 0

a( a³ + b³ + c³ - 3abc ) = 0

Therefore ,

a = 0 or a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

a = 0 or a³ + b³ + c³ = 3abc

Hence proved.

I hope this helps you.

:)