Question

if sec theta+ tan theta = p, show that p2-1/p2+1 = sin theta

Answer 1

$\Huge\orange{\boxed{\boxed{\underline{ANSWER}}}}$

Given       :  Sec Θ + tanΘ = p

To show   :   p² - 1 / p² + 1  = sin Θ

We have,

LHS  =  p² - 1 / p² + 1  =  ( SecΘ + tanΘ )²-1 / ( Sec Θ + tanΘ )²+ 1

                                                                           

⇒ LHS  = Sec²Θ + tan²Θ + 2 sec Θ tan Θ - 1 / sec²Θ + tan²Θ + 2

                                                                          sec Θ tan Θ + 1                                   

                                                                       

⇒ LHS = ( sec²Θ - 1 ) + tan²Θ + 2 sec Θ tan Θ / sec²Θ + 2 sec Θ

                                                                         tan Θ + ( 1 + tan² Θ )

⇒ LHS = tan²Θ + tan²Θ + 2secΘtanΘ / sec²Θ + 2secΘtanΘ +

                                                                sec²Θ

⇒ LHS = 2 tan²Θ + 2tanΘsecΘ / 2sec²Θ + 2secΘtanΘ

⇒ LHS  = 2tan Θ ( tan Θ + sec Θ ) / 2secΘ ( sec Θ + tan Θ )

⇒ LHS = tan Θ / sec Θ = sin Θ / cosΘ· secΘ

         

                                     = sin Θ = RHS

HENCE PROVED...!!!

Answer 2

Answer:

Given       :  Sec Θ + tanΘ = p

To show   :   p² - 1 / p² + 1  = sin Θ

We have,

LHS  =  p² - 1 / p² + 1  =  ( SecΘ + tanΘ )²-1 / ( Sec Θ + tanΘ )²+ 1

                                                                           

⇒ LHS  = Sec²Θ + tan²Θ + 2 sec Θ tan Θ - 1 / sec²Θ + tan²Θ + 2

                                                                          sec Θ tan Θ + 1                                   

                                                                       

⇒ LHS = ( sec²Θ - 1 ) + tan²Θ + 2 sec Θ tan Θ / sec²Θ + 2 sec Θ

                                                                         tan Θ + ( 1 + tan² Θ )

⇒ LHS = tan²Θ + tan²Θ + 2secΘtanΘ / sec²Θ + 2secΘtanΘ +

                                                                sec²Θ

⇒ LHS = 2 tan²Θ + 2tanΘsecΘ / 2sec²Θ + 2secΘtanΘ

⇒ LHS  = 2tan Θ ( tan Θ + sec Θ ) / 2secΘ ( sec Θ + tan Θ )

⇒ LHS = tan Θ / sec Θ = sin Θ / cosΘ· secΘ