Question

If sec x +tan x=k, find the value of sin x

Answer 1

Answer:

sin x= $\frac{k^{2}-1 }{k^{2}+1 }$ OR sin x= (k×cos x)-1

Step-by-step explanation:

We know that 1+tan²x=sec²x

⇒ ∴ sec²x-tan²x=1

⇒ (sec x+tan x)×(sec x-tan x)=1     [∵a²-b²=(a+b)(a-b)]

We know the value of (sec x+tan x) is k

⇒ ∴ (sec x-tan x)=$\frac{1}{k}$

Adding k and 1/k

⇒ k+$\frac{1}{k}$=(sec x+tan x)+(sec x-tan x)

⇒ $\frac{k^{2}+1 }{k}$=2 sec x

⇒ ∴ sec x=$\frac{k^{2}+1 }{2k}$

We know that cos x=$\frac{1}{sec x}$

⇒ ∴ cos x=$\frac{2k}{k^{2}+1 }$

⇒ (sec x+tan x) can be written as $\frac{1}{cos x}$+$\frac{sin x}{cos x}$

⇒ $\frac{1}{cos x}$+$\frac{sin x}{cos x}$=k

⇒ $\frac{1+sin x}{cos x}$=k

⇒ 1+sin x=k×cos x

Substituting value of (cos x),

⇒ 1+sin x=k×($\frac{2k}{k^{2}+1 }$)

⇒ sin x=$\frac{2k^{2} }{k^{2}+1 }$ -1

⇒ sin x= $\frac{2k^{2}-k^{2}-1 }{k^{2}+1 }$

⇒ ∴ sin x= $\frac{k^{2}-1 }{k^{2}+1 }$

                                       OR

⇒ $\frac{1}{cos x}$+$\frac{sin x}{cos x}$=k

⇒ $\frac{1+sin x}{cos x}$=k

⇒ 1+sin x=k×cos x

⇒ ∴ sin x=(k×cos x)-1

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