Question

if sinu=x^2+y^2/x+y prove that xdu/dx+ydu/dy =3tanuएप्स आईटी यू इक्वल टू एक्स स्क्वायर वाई स्क्वायर बाय एक्स प्लस वाई प्रूफ दैट एक्स डी यू बाय एक्स प्लस वाई डिवाइडेड बाय 3 न्यू ​

Answer 1

$\large\underline\purple{\bold{Solution :- }}$

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$\tt \: sinu \: = \: \dfrac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{x + y}$

$\tt \: sinu \: = \dfrac{ {x}^{2}(1 + \dfrac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} }) }{x(1 + \dfrac{y}{x}) }$

$\tt \: sinu \: = \dfrac{x(1 + \dfrac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} }) }{1 + \dfrac{y}{x} }$

$\tt\implies \:sinu \: is \: a \: homogeneous \: function \: of \: degree \: 1.$

$\tt \: \therefore \: By \: Euler's \: theorem$

$\tt \: x\dfrac{\partial}{\partial \: x} sinu \: + \: \dfrac{\partial}{\partial \: y} sinu \: = 1 \times sinu$

$\tt\implies \:xcosu\dfrac{\partial \: u}{\partial \: x} + ycosu\dfrac{\partial \: u}{\partial \: y} = sinu$

$\tt\implies \:x\dfrac{\partial \: u}{\partial \: x} + \dfrac{\partial \: u}{\partial \: y} = \dfrac{sinu}{cosu}$

$\tt\implies \:x\dfrac{\partial \: u}{\partial \: x} + \dfrac{\partial \: u}{\partial \: y} = tanu$

$\large{\boxed{\boxed{\bf{Hence, Proved}}}}$