Question

if x=root5-root2/root5+root2 and y= root5+root2/root 5-root2.Find x^2+y^2+xy


Give the correct ans.and I will mark it as a brainlist ans.
plzzzz

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{x=\dfrac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2}\;\;and\;\;y=\dfrac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of}\;\mathsf{x^2+y^2+xy}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{x=\dfrac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2}\;\;and\;\;y=\dfrac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}}$

$\mathsf{x+y=\dfrac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2}+\dfrac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}}$

$\mathsf{x+y=\dfrac{(\sqrt5-\sqrt2)^2+(\sqrt5+\sqrt2)^2}{(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)}}$

$\textsf{Using suitable identities, we get}$

$\mathsf{x+y=\dfrac{5+2-2\sqrt5\sqrt2+5+2+2\sqrt5\sqrt2}{(\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2}}$

$\mathsf{x+y=\dfrac{14}{5-2}}$

$\mathsf{x+y=\dfrac{14}{3}}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{x^2+y^2+xy}$

$\mathsf{=(x+y)^2-xy}$

$\mathsf{=\left(\dfrac{14}{3}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5+\sqrt2}{\times}\dfrac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2}\right)}$

$\mathsf{=\dfrac{196}{9}-1}$

$\mathsf{=\dfrac{196-9}{9}}$

$\mathsf{=\dfrac{187}{9}}$

$\underline{\textbf{Identities used:}}$

$\boxed{\begin{minipage}{5cm} \\\mathsf{1.\;(a+b)^2=a^2+b^2+2ab}\\\\\mathsf{2.\;(a+b)^2=a^2+b^2+2ab}\\\\\mathsf{3.\;(a-b)(a+b)=a^2-b^2}\\ \end{minipage}}$