Question

if z1= 3+4i and Z2 = 12-5i<br />verify that |z1, z2|= |z1| |z2|​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{z_1=3+4\,i}$

$\mathsf{z_2=12-5\,i}$

$\textbf{To verify:}$

$\mathsf{|z_1z_2|=|z_1|\;|z_2|}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Concept used:}$

The modulus of a complex number z=a+ib is deffined as

$\mathsf{|z|=\sqrt{a^2+b^2}}$

$\mathsf{z_1=3+4\,i}$

$\mathsf{z_2=12-5\,i}$

$\mathsf{z_1\,z_2}$

$\mathsf{=(3+4\,i)(12-5\,i)}$

$\mathsf{=36-15i+48i-20i^2}$

$\mathsf{=36+33i+20}$

$\mathsf{=56+33i}$

$\mathsf{|z_1\,z_2|=\sqrt{56^2+33^2}}$

$\mathsf{|z_1\,z_2|=\sqrt{3136+1089}}$

$\mathsf{|z_1\,z_2|=\sqrt{4225}}$

$\mathsf{|z_1\,z_2|=65}$----------(1)

$\mathsf{|z_1|=\sqrt{3^2+4^2}}$

$\mathsf{|z_1|=\sqrt{9+16}}$

$\mathsf{|z_1|=\sqrt{25}=5}$

$\mathsf{|z_2|=\sqrt{12^2+(-5)^2}}$

$\mathsf{|z_2|=\sqrt{144+25}}$

$\mathsf{|z_2|=\sqrt{169}=13}$

$\mathsf{|z_1|\;|z_2|}$

$\mathsf{=5{\times}13}$

$\mathsf{=65}$-----------(2)

$\mathsf{From\;(1)\;and\;(2),\;we\;get}$

$\boxed{\mathsf{|z_1z_2|=|z_1|\;|z_2|}}$