Question

ifcosa+2cosb+3cosc=0 sina+2sinb+3sinc=0 a+b+c=pi then sin3a+8sin3b+27sin3c=

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{cosA+2\,cosB+3\,cosC=0}$

$\mathsf{sinA+2\,sinB+3\,sinC=0}$

$\mathsf{and\;A+B+C=\pi}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{The value of}$

$\mathsf{sin3A+8\,sin3B+27\,sin3C}$

$\textbf{Solution:}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{cosA+2\,cosB+3\,cosC=0}$....(1)

$\mathsf{sinA+2\,sinB+3\,sinC=0}$.......(2)

$\mathsf{(1)+i\,(2)\,gives}$

$\mathsf{(cosA+i\,sinA)+2(cosB+i\,sinB)+3(cosC+i\,sinC)=0+i\,0}$

$\mathsf{(cosA+i\,sinA)+2(cosB+i\,sinB)+3(cosC+i\,sinC)=0}$

$\textsf{We know that,}$

$\boxed{\mathsf{If\;a+b+c=0,\;then\;a^3+b^3+c^3=3\,abc}}$

$\mathsf{(cosA+i\,sinA)^3+2^3(cosB+i\,sinB)^3+3^3(cosC+i\,sinC)^3=}\\\mathsf{(cosA+i\,sinA){\times}2(cosB+i\,sinB){\times}3(cosC+i\,sinC)}$

$\textsf{By Demovire's theorem}$

$\implies\mathsf{(cos3A+i\,sin3A)+8(cos3B+i\,sin3B)+27(cos3C+i\,sin3C)=6e^{iA}e^{iB}e^{iC}}$

$\implies\mathsf{(cos3A+8\,cos3B+27\,cos3C)+i(sin3A+8\,sin3B+27\,sin3C)=6e^{i(A+B+C)}}$

$\implies\mathsf{(cos3A+8\,cos3B+27\,cos3C)+i(sin3A+8\,sin3B+27\,sin3C)=6e^{i\pi}}$

$\implies\mathsf{(cos3A+8\,cos3B+27\,cos3C)+i(sin3A+8\,sin3B+27\,sin3C)=6(cos\,\pi+i\,sin\,\pi)}$

$\implies\mathsf{(cos3A+8\,cos3B+27\,cos3C)+i(sin3A+8\,sin3B+27\,sin3C)=6(-1+i\,0)}$

$\implies\mathsf{(cos3A+8\,cos3B+27\,cos3C)+i(sin3A+8\,sin3B+27\,sin3C)=-6+i\,0}$

$\textsf{Equating imaginary parts on bothsides we get}$

$\mathsf{sin3A+8\,sin3B+27\,sin3C=0}$

$\textbf{Find more}$