Question

in an arithmetic sequence, $t_{m} =n$ and $t_{n} =m$. Show $t_{m+n} =0$​

Answer 1

Question:

In an arithmetic sequence, $t_{m} =n$ and $t_{n} =m$. Show $t_{m+n} =0$

To show:

$\bigstar \: t _{m + n} = 0$

Answer:

$\underline{\sf \pink{t _{m + n} = 0}} \: is \: proved.$

Given:

★ The given consecutive terms are in A.P.

$\star \: t _{m} = n$

$\star \: t _{n} = m$

Step-by-step explanation:

We know that,

$\boxed{t _{n} = a + (n - 1)d}$

$\implies t _{m} = n$

$\implies \underline{ \: t _{m} = a + (m - 1)d = n \: }$

$\longrightarrow t _{n} = m$

$\longrightarrow \underline{ \: t _{n} = a + (n - 1)d = m \: }$

$\underline{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

Now to find the value of d ( Common difference )

$Subtracting,$

$\hookrightarrow a + (m - 1)d - \big[a + (n - 1)d\big] = n - m$

$\hookrightarrow \not{a} + (m - 1)d - \not{a} - (n - 1)d= n - m$

$\hookrightarrow (m - \not{1} - n +\not{ 1}) d= n - m$

$\hookrightarrow d = \frac{n - m}{ m - n}$

$\hookrightarrow \boxed{d = - 1}$

$\underline{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

Now substituting the value of d,

$\mapsto t _{m} = a + (m - 1)( - 1)$

$\mapsto a - m + 1 = n$

$\mapsto \boxed{a = m + n - 1}$

$\mapsto t _{n} = a + (n - 1)( - 1)$

$\mapsto a - n + 1 = m$

$\mapsto \boxed{a = m + n - 1}$

$\underline{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$Now, \: t _{m + n}$

$\hookrightarrow t _{m + n} = t _{m} + t _{n}$

$\hookrightarrow t _{m + n} = a + m - 1 + - 1(a + m - 1)$

$\hookrightarrow t _{m + n} = a + m - 1 - a - m + 1)$

$\hookrightarrow \boxed{t _{m + n} = 0}$

$\therefore \bold{t _{m + n} = 0}$

$Hence \: proved.$

$\underline{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

More information:

★ Arithmetic progression :

In a sequence the difference between two consecutive terms are equal it is called Arithmetic progression .

★ General form :

a , a + d , a + 2d , a +3d ,........

$\bigstar \underline{ \bold{{n}^{th} term}}$

$t _{n} = a + (n - 1)d$

★ No. of terms :

$n = \frac{l - a}{d} + 1$

★ Common difference :

$d = t_{2} - t _{1}$

★ Sum of n terms of an A.P. :

$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$