कैन्टर का सर्वनिष्ठ प्रमेय लिखिए एवं सिद्ध कीजिए।
Answers
(कैंटर के प्रमेय)
यदि A कोई सेट है, तो A पूरक <P (A) पूरक है
सबूत।
सबसे पहले, हमें यह दिखाने की जरूरत है कि A¯¯¯¯≤P (A) define: एक इंजेक्शन परिभाषित करें f: A → P (A) by f (a) = {a}। अब हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि कोई आपत्ति नहीं है g: A → P (A)। एक विरोधाभास के लिए, मान लीजिए कि जी एक ऐसी आपत्ति है। चलो
एस = {a∈A: a∉g (क)} ⊆A।
चूंकि S SinceP (A), S = g (x), कुछ x ,A के लिए, क्योंकि g एक आक्षेप है। दो संभावनाएँ हैं: x∈S और x∉S।
1. यदि x )S, तो x∉g (x) = S, अर्थात, x∈S, एक विरोधाभास।
2. यदि x )S, तो x∈g (x) = S, अर्थात, x∉S, एक विरोधाभास।
इसलिए, ऐसी कोई भी आपत्ति संभव नहीं है।
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कैंटर के प्रमेय का तात्पर्य है कि अनंत रूप से कई अनंत कार्डिनल संख्याएं हैं, और यह कि कोई सबसे बड़ी कार्डिनल संख्या नहीं है। इसका निम्नलिखित दिलचस्प परिणाम भी है:
"सभी सेटों का सेट" जैसी कोई चीज नहीं है।