lim of (x tends to y) (sinx-siny) divided by (x-y)...
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Answer:
Considere uma função f que associa um vetor
x = (x1, x2, . . . , xn) de um domínio D ⊆ R
n um número real
f(x). Considere também um vetor a = (a1, a2, . . . , an), não
necessariamente no domínio de f. Escrevemos,
limx→a
f(x) = L,
se pudermos tornar os valores f(x) arbitrariamente próximos
de L (tão próximos quanto quisermos) tomando x próximo mas
diferente de a.
Definição 1 (Distância Euclideana)
Dados dois vetores x = (x1, . . . , xn) e a = (a1, . . . , an), o valor
kx − ak =
q
(x1 − a1)
2 + . . . + (xn − an)
2,
chamada distância Euclideana, fornece uma medida para
avaliar quão próximo x está de a.
Observação:
Em R
2
, o conjunto
B(a, r) = {x : kx − ak < r}
representa um circulo de raio r centrado em a = (a1, a2). No
caso geral, B(a, r) é chamada bola aberta de raio r centrada
em a.
Definição 2 (Limite)
Seja f uma função de várias variáveis cujo domínio D ⊆ R
n
contém pontos arbitrariamente próximos de a = (a1, . . . , an).
Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a é L e
escrevemos
limx→a
f(x) = L,
se para todo número ε > 0, existe um número correspondente
δ > 0 tal que,
se x ∈ D e 0 < kx − ak < δ então |f(x) − L| < ε.
Observe que
limx→a
f(x) = L ⇔ lim
kx−ak→0
|f(x) − L| = 0,
em que o segundo é um limite usual.
Teorema 3
Se limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = M, então
a) Limite da soma:
limx→a
[f(x) + g(x)] = L + M.
b) Multiplicação por escalar:
limx→a
αf(x) = αL, ∀α ∈ R.
c) Limite do produto:
limx→a
[f(x)g(x)] = LM.
d) Limite do quociente:
limx→a
[f(x)/g(x)] = L/M, se M 6= 0.
Observação 1:
O teorema do confronto também vale para limite de funções de
várias variáveis.
Observação 2:
Existem infinitas maneiras de x se aproximar de a. Porém, a
noção de distância não depende da maneira como x se
aproxima de a. Portanto, se o limite existe, f(x) deve se
aproximar de L independentemente da maneira como x se
aproxima de a.
Observação 3:
Se f(x) → L1 quando x → a ao longo de um caminho C1 e
f(x) → L2 quando x → a ao longo de um caminho C2
Step-by-step explanation: