Question

log1/3 (3x - 4) ≥ -1
please, help me solve this

Answer 1

$\begin{gathered}\Large{\bold{\pink{\underline{Formula \: Used \::}}}} \end{gathered}$

$\tt \:  ⟼ \: 1. \: log_{x}(x) = 1$

$\tt \:  ⟼ \: 2. \: log_{a}(x) \geqslant log_{a}(y) \: and \: 0 < a < 1 \\ \tt \:  ⟼then \: x \: \leqslant \: y \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

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$\large\underline\purple{\bold{Solution :- }}$

$\tt \:  ⟼ log_{ \frac{1}{3} }(3x - 4) \geqslant - 1$

$\large\underline{\bold{❥︎Step :- 1 }}$

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$\tt \:  ⟼ \: 3x - 4 > 0$

$\tt \:  ⟼ \: 3x > 4$

$\tt\implies \:x > \dfrac{4}{3}$

$\tt \:  ⟼ \: x \: \epsilon \: ( \: \dfrac{4}{3}, \infty \: ) \: - - - - (1)$

$\large\underline{\bold{❥︎Step :- 2 }}$

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$\tt \:  ⟼ \: log1/3 (3x - 4) ≥ -1$

$\tt \:  ⟼ \: log_{ \frac{1}{3} }(3x - 4) ≥ - \: log_{ \frac{1}{3} }( \frac{1}{3} )$

$\tt \:  ⟼ \: log_{ \frac{1}{3} }(3x - 4) ≥ \: log_{ \frac{1}{3} }( \frac{1}{3} ) ^{ - 1}$

$\tt \:  ⟼ \: log_{ \frac{1}{3} }((3x - 4)) \geqslant log_{ \frac{1}{3} }( 3)$

$\tt\implies \:3x - 4 \leqslant 3$

$\tt \:  ⟼ \: 3x \leqslant 7$

$\tt \:  ⟼ \: x \: \leqslant \dfrac{7}{3} - - - (2)$

$\tt \:  ⟼ \: from \: (1) \: and \: (2), \: we \: conclude$

$\tt \:  ⟼ \: x \: \epsilon \: (\dfrac{4}{3} , \: \dfrac{7}{3}]$

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