Question

loga+loga^2+loga^3+...+loga^n

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{log\,a+log\,a^2+log\,a^3+\;.\;.\;.\;.+log\,a^n}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The value of}$

$\mathsf{log\,a+log\,a^2+log\,a^3+\;.\;.\;.\;.+log\,a^n}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{log\,a+log\,a^2+log\,a^3+\;.\;.\;.\;.+log\,a^n}$

$\textsf{Using Power rule of logarithm, we get}$

$\mathsf{=log\,a+2\,log\,a+3\,log\,a+\;.\;.\;.\;.+n\,log\,a}$

$\textsf{By taking}\;\mathsf{log\,a}\;\textsf{as common}$

$\mathsf{=log\,a\,(1+2+3+\;.\;.\;.\;.+n)}$

$\mathsf{=log\,a\,(Sum\;of\;first\;n\;natural\;numbers)}$

$\mathsf{=log\,a\,\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)}$

$\implies\boxed{\mathsf{log\,a+log\,a^2+log\,a^3+\;.\;.\;.\;.+log\,a^n=log\,a\,\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)}}$

$\underline{\textbf{Formulae used:}}$

$\boxed{\begin{minipage}{6cm} \\\;\;\textbf{Power rule:}\;\mathsf{log_aM^r=r\,log_aM}\\ \end{minipage}}$