Question

माना कि किसी समांतर श्रेणी के n, 2n, तथा 3n पदों का योगफल क्रमश: $S_1$, $S_2$ तथा $S_3$ है तो दिखाइए कि $S_3 = 3(S_2 - S_1)$

Answer 1

हल:- माना किसी समांतर श्रेणी का पहला पद a तथा सार्व अंतर d है

तब, श्रेणी के n पदों का योग

$\bf \: S_1 = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]..............(1)$

श्रेणी के 2n पदों का योग

$\bf \: S_2 = \frac{2n}{2} [2a + (2n - 1)d]..............(2)$

और श्रेणी के 3n पदों का योग

$\bf \: S_3 = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d]..............(3)$

अब समीकरण 2 में से समीकरण 1 को घटाने पर,

$\bf \: S_2 - S_1 = \frac{2n}{2} [2a + (2n - 1)d] - \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] \\ \\ \bf \: = \frac{n}{2}[4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d] \\ \\ = \bf \: \frac{n}{2} (2a + 3nd - d) \\ \\ \bf \therefore \: S_2 - S_1 = \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d]$

दोनों पक्षों में 3 गुणा करने पर,

$\bf \: 3(S_2 - S_1) = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d] \\ \\ \bf \therefore \: 3(S_2 - S_1) = S_3 \: \: \: \: \: \: \: (from \: the \: 3 \: equation) \\ \\ \\ so \bf \: \: S_3 = 3(S_2 - S_1)$

Answer 2

Answer:

Step-by-step explantion ;

हल:- माना किसी समांतर श्रेणी का पहला पद a तथा सार्व अंतर d है

तब, श्रेणी के n पदों का योग

श्रेणी के 2n पदों का योग

और श्रेणी के 3n पदों का योग

अब समीकरण 2 में से समीकरण 1 को घटाने पर,

दोनों पक्षों में 3 गुणा करने पर,