मान लीजिए कि A= R - { 3 } तथा B = R – { 1 } हैं। (x) =( (x-2)/(x-3)) द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या । एकैकी तथा आच्छादक है? अपने का औचित्य भी बतलाइए।
Answers
Given : A= R - { 3 } तथा B = R – { 1 } हैं। (x) =( (x-2)/(x-3)) द्वारा परिभाषित फलन f : A → B
To find : बताइये कि क्या फलन एकैकी तथा आच्छादक है ।
Solution :
एकैकी (one-one) अथवा एकैक (injective) फलन यदि प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
अनयथा फलन एक बहुएक (many - one) कहलाता है
आच्छादक (onto ) अथवा आच्छादी (surjective) फलन यदि प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
एकैकी तथा आच्छादक (one-one and onto ) => एकैकी आच्छादी ( bijective) -(injective and surjective)
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
f(x₁) =(x₁ - 2)/(x₁ - 3)
f(x₂) =(x₂ - 2)/(x₂- 3)
f(x₁) = f(x₂)
=> (x₁ - 2)/(x₁ - 3) = (x₂ - 2)/(x₂- 3)
=> (x₁ - 2)(x₂- 3) = (x₂ - 2)(x₁ - 3)
=> x₁x₂ - 2x₂ - 3x₁ + 6 = x₂x₁ - 2x₁ - 3x₂ + 6
=> x₂ = x₁
=> x₁ = x₂
=> प्रत्येक x₁ , x₂ ∈ X के लिए f(x₁) = f(x₂) का तात्पर्य है की x₁ = x₂
=> फलन एकैकी , एकैक (Injective) है
f(x) = y y ∈ B R - { 1 }
=> y = (x - 2)/(x - 3)
=> y(x - 3) = (x - 2)
=> xy - 3y = x - 2
=> x(y - 1) = 3y - 2
=> x = (3y - 2)/(y - 1)
y = f(x)
= (x - 2)/(x - 3)
= ((3y - 2)/(y - 1) - 2) /( (3y - 2)/(y - 1) - 3)
=> ( 3y - 2 -2y + 2)/ (3y - 2 - 3y + 3)
= y/1
= y
=> प्रत्येक y ∈ Y के लिए
X में एक ऐसे अवयव का अस्तित्व है की f(x) = y
=> फलन आच्छादक (surjective ) है
फलन एकैकी तथा आच्छादक (surjective ) है
=> फलन एकैकी आच्छादी ( bijective) है
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